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Mathematik 10

wird überarbeitet

M10 1 Sinus- und Kosinusfunktion (ca. 17 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • verstehen das Bogenmaß als alternative Möglichkeit, Winkelgrößen zu beschreiben, und wechseln sicher zwischen Bogen- und Gradmaß.
  • veranschaulichen Sinus- und Kosinuswerte von Winkelmaßen zwischen 0 und 2π am Einheitskreis und ermitteln insbesondere das zugehörige Vorzeichen sicher. Sie bestimmen die Maße von Winkeln, die einen vorgegebenen Sinus- oder Kosinuswert besitzen.
  • ermitteln Werte von Sinus und Kosinus für Winkelmaße größer als 2π sowie für negative Winkelmaße, indem sie diese mithilfe des Einheitskreises auf Werte für Winkelmaße zwischen 0 und 2π zurückführen.
  • leiten mithilfe des Einheitskreises den Verlauf der Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion ab und begründen insbesondere deren Periodizität sowie den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen.
  • beschreiben für Funktionen mit Termen der Form a ⋅ sin(b ⋅ (x + c)) + d, wie sich Änderungen der Parameter a, b, c und d auf den Funktionsgraphen auswirken. Zur Veranschaulichung nutzen sie auch eine dynamische Mathematiksoftware.
  • zeichnen für einen gegebenen Funktionsterm der Form a ⋅ sin(b ⋅ (x + c)) + d unter Verwendung geeigneter Merkmale (insbesondere Amplitude und Periode) den zugehörigen Funktionsgraphen und ermitteln umgekehrt aus dem Graphen den zugehörigen Funktionsterm.
  • nutzen Sinus- und Kosinusfunktionen sowie deren Graphen in Sachzusammenhängen, u. a. beim Modellieren und beim Problemlösen.

M10 2 Exponentialfunktion und Logarithmus – Exponentielles Wachstum (ca. 15 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben und veranschaulichen die Charakteristika von exponentieller Zunahme und exponentieller Abnahme. Sie grenzen exponentielles Wachstum begründet von linearem Wachstum ab.
  • beschreiben für Funktionen mit Termen der Form b ⋅ ax in Abhängigkeit von a und b den Verlauf des zugehörigen Graphen und dessen typische Merkmale (Wertemenge, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, asymptotisches Verhalten, Monotonieverhalten) und argumentieren damit.
  • verstehen die Definition des Logarithmus und ermitteln Logarithmen in einfachen Fällen mithilfe der Definition, andernfalls mit dem Taschenrechner.
  • lösen einfache Exponentialgleichungen und wenden dabei auch die Regel logb(uz) = z ⋅ logb(u) an.
  • lösen realitätsnahe Aufgabenstellungen im Zusammenhang mit Wachstums- und Abklingvorgängen graphisch und rechnerisch, reflektieren ihre Lösungswege und ‑strategien und bewerten ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang, z. B. hinsichtlich von Chancen und Risiken des technologischen Fortschritts.
Alltagskompetenzen Alltagskompetenzen

M10 3 Ganzrationale Funktionen (ca. 8 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • verstehen ganzrationale Funktionen als Summe von Potenzfunktionen mit ganzzahligen nicht-negativen Exponenten und begründen anhand des Funktionsterms (in allgemeiner oder faktorisierter Form) das Verhalten einer ganzrationalen Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, bestimmen in Fällen angemessener Komplexität Nullstellen und deren Vielfachheit und erstellen damit eine Skizze des Graphen.
  • ziehen aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion, soweit möglich, Rückschlüsse auf den Grad der Funktion oder auch auf den zugehörigen Funktionsterm.
  • überprüfen rechnerisch sowie durch Analyse der Struktur des Funktionsterms, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs aufweist.

M10 4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit (ca. 10 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • unterscheiden bedingte von nicht bedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten auch unter Verwendung von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln.
  • verstehen, dass in Sachzusammenhängen (z. B. in der medizinischen Diagnostik) klar zwischen PB(A) und PA(B) unterschieden werden muss, und sind in der Lage, mithilfe von Vierfeldertafeln oder Baumdiagrammen – auch solchen, in denen sie Wahrscheinlichkeiten mithilfe von absoluten Häufigkeiten in den Feldern bzw. Knoten illustrieren – von der einen auf die andere bedingte Wahrscheinlichkeit zu schließen.
  • erläutern die Bedeutung der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse an konkreten Beispielen. Sie erkennen die stochastische Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit von Ereignissen an Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln und prüfen auch rechnerisch, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

M10 5 Gebrochen-rationale Funktionen – Grenzwerte und Asymptoten (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ermitteln Nullstellen und Polstellen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen (d. h. von Funktionen, bei denen sowohl Zähler- als auch Nennerpolynom höchstens den Grad 2 aufweisen und deren Funktionsterm in vollständig gekürzter Form vorliegt).
  • erläutern die anschauliche Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion für x → +∞, für x → −∞ und für x → x0. Sie ermitteln anhand des Funktionsterms – auch mithilfe zielgerichteter elementarer Termumformungen – Grenzwerte einfacher gebrochen-rationaler Funktionen an den Rändern des jeweiligen Definitionsbereichs und verwenden dabei die Grenzwertschreibweise.
  • ermitteln die Gleichungen von senkrechten und waagrechten Asymptoten der Graphen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen und geben ggf. die Gleichung der schrägen Asymptote eines solchen Graphen an, wenn diese unmittelbar aus dem zugehörigen Funktionsterm ersichtlich ist.
  • analysieren einfache gebrochen-rationalen Funktionen hinsichtlich ihrer wesentlichen Eigenschaften (z. B. Nullstellen, Verhalten in der Umgebung einer Polstelle, Verhalten für x → +∞), schließen damit auf den Verlauf des jeweiligen Graphen und zeichnen diesen.
  • ermitteln die Koordinaten von Schnittpunkten der Graphen zweier einfacher gebrochen-rationaler Funktionen bzw. des Graphen einer einfachen gebrochen-rationalen Funktion mit dem Graphen einer linearen Funktion rechnerisch, sofern sich das Lösen der dabei auftretenden Bruchgleichung auf das Lösen einer linearen oder quadratischen Gleichung zurückführen lässt.

M10 6 Spezielle Eigenschaften von Funktionen (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • unterscheiden Konvergenz und Divergenz anhand der bekannten Funktionstypen. Sie kennen für alle bekannten Funktionstypen charakteristische Vertreter und bringen durch geeignete Skizzen der zugehörigen Graphen wesentliche Eigenschaften der jeweiligen Funktion deutlich zum Ausdruck.
  • überprüfen rechnerisch, ob die Graphen von Funktionen Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs aufweisen.
  • verstehen die formale Definition der Monotonie und wenden diese in einfachen Fällen zur Beschreibung des Verlaufs von Graphen unterschiedlicher Funktionstypen an.
  • erläutern, wie die Änderungen der Werte bestimmter Parameter in einem Funktionsterm den zugehörigen Graphen beeinflussen (Verschiebung in x- oder y-Richtung, Streckung in x- oder y-Richtung, Spiegelung an einer Koordinatenachse), und nutzen dies bei Argumentationen.
  • unterscheiden auf der Grundlage einer anschaulichen Vorstellung von Stetigkeit anhand von Beispielen für abschnittsweise definierte Funktionen Graphen stetiger Funktionen von Graphen nicht stetiger Funktionen.