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Mathematik 9

wird überarbeitet

M9 1 Quadratwurzeln (ca. 15 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen und bestimmen bei angemessen gewählten Zahlen den Wert einer Quadratwurzel auch im Kopf. Sie vereinfachen einfache vollständig radizierbare Terme, falls nötig unter Verwendung von Beträgen.
  • verstehen das Grundprinzip eines indirekten Beweises, vollziehen damit den Beweis für die Irrationalität von Wurzel aus 2 nach und erläutern diesen. Sie begründen die Notwendigkeit, die Menge der rationalen Zahlen zu erweitern, nennen Quadratwurzeln und andere irrationale Zahlen (u. a. π) als Beispiele reeller nicht-rationaler Zahlen und sind sich der kulturhistorischen Bedeutung dieser Zahlbereichserweiterung bewusst.
  • fassen in dem Bewusstsein, dass die bekannten Rechengesetze auch in der erweiterten Zahlenmenge gelten, in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung bei Termen angemessener Komplexität Produkte, Quotienten, Summen und Differenzen von Quadratwurzeln zusammen und vereinfachen dabei auch Potenzen von Wurzeltermen.
  • formen Wurzelterme ohne Variablen so um, dass Nenner rational sind und radizieren teilweise, wodurch sie auch entsprechende Ausgaben eines Taschenrechners nachvollziehen und erläutern. Wurzelterme mit Variablen vereinfachen sie durch teilweises Radizieren und stellen das Ergebnis, falls nötig, mithilfe von Beträgen dar.

M9 2.1 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (ca. 17 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben für quadratische Funktionen mit Termen der Form a ⋅ (x + d)2 + e, wie sich Änderungen der Werte der Parameter a, d und e auf die zugehörige Parabel auswirken. Sie bestimmen für Beispiele derart angegebener Funktionen jeweils die Anzahl der Nullstellen und die Lösungen der zugehörigen Gleichung. Zur Veranschaulichung nutzen sie auch eine dynamische Mathematiksoftware.
  • ermitteln durch flexible Nutzung der binomischen Formeln die Koordinaten des Scheitels einer Parabel aus dem zugehörigen Funktionsterm, auch wenn dieser in der Form ax2 + bx + c vorliegt, und zeichnen den zugehörigen Graphen.
  • geben anhand des zugehörigen Graphen wesentliche Eigenschaften einer quadratischen Funktion an (Wertemenge, Nullstellen, Intervalle mit positiven bzw. negativen Funktionswerten, Monotonieverhalten, größter Funktionswert, kleinster Funktionswert, Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse).
  • erkennen bei der rechnerischen Lösung von quadratischen Gleichungen, wann der Einsatz der Lösungsformel erforderlich ist und wann eine andere Methode (z. B. Ausklammern der Unbekannten) vorteilhaft ist. Sie lösen damit quadratische Gleichungen reflektiert und schätzen die Richtigkeit ihrer Lösungen durch eine geeignete Skizze ab. Anhand konkreter Beispiele formulieren und veranschaulichen sie auch Aussagen zur Lösbarkeit und zur Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen.
  • sind sich bewusst, dass jede der drei Darstellungsformen des Terms einer quadratischen Funktion, die allgemeine Form ax2 + bx + c, die Scheitelpunktsform a ⋅ (x − xS)2 + yS und die Nullstellenform a ⋅ (x − x1) ⋅ (x − x2), besondere Vorteile besitzt, und nutzen diese Formen situationsgerecht, u. a. auch beim Argumentieren.

M9 2.2 Quadratische Funktionen in Anwendungen (ca. 17 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • stellen lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten auf und lösen diese systematisch und reflektiert; so berechnen sie insbesondere die Koeffizienten des Terms einer quadratischen Funktion, z. B. aus den Koordinaten dreier Parabelpunkte.
  • lösen Bruchgleichungen, die sich unmittelbar auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen, und berechnen so auch die Koordinaten der Schnittpunkte von Geraden mit Hyperbeln.
  • beschreiben und lösen innermathematische sowie realitätsnahe Problemstellungen mithilfe quadratischer Funktionen (u. a. Modellierung von Extremwertproblemen); sie erläutern ihre dabei verwendeten Strategien, reflektieren diese und dokumentieren ihre Lösungswege nachvollziehbar und formal korrekt.

M9 3 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und Erweiterung des Potenzbegriffs (ca. 9 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben für Funktionen mit Termen der Form a ⋅ xn in Abhängigkeit von a und n den Verlauf des zugehörigen Graphen sowie seine Symmetrie.
  • verstehen die Definition der allgemeinen Wurzel und sind in der Lage, damit Gleichungen zu lösen, die sich auf die Form xn = c zurückführen lassen. Die Anzahl der Lösungen machen sie durch eine geeignete Skizze plausibel.
  • verstehen Potenzen mit rationalen Exponenten als Schreibweise für Wurzeln und wandeln damit Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander um.
  • fassen auf der Grundlage eines vertieften Verständnisses von Termstrukturen unter Anwendung der Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung Produkte und Quotienten zusammen, die Potenzen und Wurzeln enthalten.

M9 4 Zusammengesetzte Zufallsexperimente (ca. 8 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • strukturieren zusammengesetzte Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, auch unter Zurückführung auf Urnenexperimente.
  • machen anhand von Beispielen die Pfadregeln plausibel und berechnen mithilfe dieser Regeln Wahrscheinlichkeiten.

M9 5.1 Satz des Pythagoras (ca. 10 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beweisen den Satz des Pythagoras und unterscheiden diesen von seiner Umkehrung, indem sie für beide Sätze jeweils Voraussetzung und Behauptung benennen. Im Rahmen der Beweisführung argumentieren sie auf der Grundlage eines gefestigten Verständnisses der Struktur mathematischer Sätze folgerichtig.
  • führen an rechtwinkligen Dreiecken unter flexibler Anwendung des Satzes des Pythagoras Berechnungen durch.
  • lösen im Bewusstsein seiner Bedeutung in kulturgeschichtlicher wie auch anwendungspraktischer Hinsicht vielfältige Aufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung.

M9 5.2 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (ca. 9 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • begründen mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck jedes Verhältnis zweier Seitenlängen bereits die Größen aller Innenwinkel festlegt und umgekehrt die Vorgabe der Innenwinkel alle Seitenverhältnisse.
  • identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus bzw. Tangens der Größe des jeweils zugehörigen spitzen Innenwinkels und führen durch flexible Verwendung dieser Beziehungen Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durch.
  • deuten bei rechtwinkligen Dreiecken, deren Hypotenuse die Länge 1 hat, Sinus und Kosinus der Größen der Innenwinkel als Kathetenlängen. Sie begründen die Zusammenhänge (sin α)2 + (cos α)2 = 1, Formel: Tangens von alpha ist gleich Sinus von alpha geteilt durch Cosinus von alpha, cos α = sin (90° − α) und sin α = cos (90° − α).
  • lösen – ggf. unter Verwendung von Problemlösestrategien (z. B. Einzeichnen von Hilfslinien) – nun auch rechnerisch Anwendungsaufgaben (z. B. aus der Physik oder aus dem Vermessungswesen), die bisher nur konstruktiv lösbar waren, und sind sich ihres entsprechenden Kompetenzzuwachses bewusst.

M9 6 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel (ca. 27 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • skizzieren die aus dem Alltag bekannten Körper Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel in Schrägbildern, zeichnen zugehörige Netze und beschreiben die Körper und ihre Grund- und Mantelflächen mit Fachbegriffen.
  • erläutern, inwiefern man gerade Kreiszylinder, gerade Kreiskegel und Kugeln als Rotationskörper interpretieren kann.
  • begründen die Formeln zur Bestimmung des Oberflächeninhalts eines geraden Kreiszylinders bzw. eines geraden Kreiskegels; sie verwenden dazu geeignete Skizzen.
  • begründen, dass die Volumina gerader Prismen unabhängig von der Form ihrer Grundfläche gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe sind und wissen, dass z. B. mithilfe des Prinzips von Cavalieri plausibel gemacht werden kann, dass dies auch für schiefe Prismen gilt. Sie machen die Struktur der Formel zur Bestimmung des Volumens einer Pyramide plausibel.
  • machen die Formeln zur Bestimmung des Volumens eines Kreiszylinders bzw. eines Kreiskegels plausibel, indem sie diese Körper als Grenzfälle von Prismen bzw. Pyramiden betrachten.
  • machen die Struktur der Formeln zur Bestimmung des Volumens bzw. des Oberflächeninhalts einer Kugel plausibel.
  • nutzen auch in Sachzusammenhängen zur Bestimmung von Volumina, Oberflächeninhalten, Längen und Winkelgrößen flexibel die bisher bekannten Volumen- und Oberflächeninhaltsformeln sowie geometrische Kenntnisse aus anderen Lernbereichen (insbesondere trigonometrische Zusammenhänge, Strahlensatz und Satz des Pythagoras). Ihre Lösungswege entwickeln sie dabei auf der Grundlage eines gewachsenen räumlichen Vorstellungsvermögens anhand von Überlegungen an geeigneten Skizzen, in einfachen Fällen auch im Kopf.