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Mathematik

1 Selbstverständnis des Faches Mathematik und sein Beitrag zur Bildung
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Die Mathematik hat sich über Jahrtausende als gemeinsame Kulturleistung der Menschheit entwickelt. Ursprünglich aus Fragen des Alltags entstanden, erarbeitet sie auch aus sich selbst heraus abstrakte Begriffe, Strukturen und Theorien. Dadurch bietet sie Ideen und Strategien zur Lösung verschiedenster Fragestellungen an und liefert fundamentale Beiträge zur Gestaltung und zur Beschreibung unserer Welt. Mathematische Kompetenzen schaffen wesentliche Voraussetzungen für die Erkenntnisgewinnung in unterschiedlichsten Disziplinen: Mathematik ist nicht nur ein charakteristischer Teil der Sprache der Naturwissenschaften und der Technik; mathematische Methoden dienen auch, z. B. in Wirtschaft und Politik sowie in den Sozialwissenschaften, der Objektivierung und der Strukturierung komplexer Sachverhalte. So gewonnene Aussagen bilden oft eine maßgebliche Basis für Bewertungen und Entscheidungen.

Orientierung in diesen vielen Bereichen des Lebens zu geben, ist ein wesentlicher Beitrag des Mathematikunterrichts am Gymnasium sowohl zur Allgemeinbildung als auch zur Alltags­kompetenz der Schülerinnen und Schüler. Daher ist er nicht zuletzt daraufhin angelegt, „die folgenden drei Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen:

  1. Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,
  2. mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,
  3. in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben.“

Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, in: Mitteilungen der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 61 (1995), S. 37–46, hier S. 37.

Zentrale Aufgabe des Mathematikunterrichts am Gymnasium ist es, dass die Schülerinnen und Schüler sich im Rahmen des Aufbaus mathematischer Kompetenzen konkrete mathematische Kenntnisse und Arbeitsweisen aneignen und dabei auch diese Grunderfahrungen machen können, wodurch sie auch allgemeinere Einsichten in Prozesse des Denkens und der Entscheidungsfindung gewinnen, die für eine aktive und verantwortungsbewusste Mitgestaltung der Gesellschaft von Bedeutung sind. Dabei wird den jungen Menschen auch deutlich, dass Mathematik ein hilfreiches Werkzeug zur Analyse und zur Erkenntnisgewinnung sein kann, das letztlich auf menschlicher Kreativität beruht, und dass sie z. B. wegen ihrer ästhetischen Komponente auch einen Wert an sich darstellt.

Kennzeichen mathematischer Arbeitsweise sind präziser Sprachgebrauch, Entwicklung klarer Begriffe, folgerichtige Gedankenführung und Argumentation, systematisches Vorgehen sowie das Erfassen von Zusammenhängen. Durch Übung in diesen Arbeitsweisen setzen sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit dem eigenen Denken auseinander und erweitern ihr Abstraktionsvermögen. Sie beschäftigen sich mit verschiedenen Formen mathematischer Betrachtungs- und Vorgehensweisen, wodurch sie ihre geistige Beweglichkeit und ihre Offenheit für unterschiedliche Fragestellungen und Sichtweisen weiterentwickeln. Beim Entdecken von Gesetzmäßigkeiten sowie beim Vergleichen und Reflektieren von Lösungswegen verfeinern sie ihr Repertoire an Denk- und Handlungsstrategien. Indem sie Ergebnisse und eingesetzte Strategien überprüfen und bewerten, entwickeln sie auch ihre Urteilsfähigkeit weiter und bauen bei der exakten, systematischen Analyse einer Fragestellung, wie sie bei den meisten mathematischen Problemen nötig ist, ihre Fähigkeit aus, einen Sachverhalt fundiert und unvoreingenommen einzuschätzen.
Daneben wird durch die Beschäftigung mit mathematischen Fragestellungen die grundsätzliche Bereitschaft der Schülerinnen und Schüler zu geistiger Betätigung ausgebildet und ihre Konzentrationsfähigkeit gefördert. Beim Lösen mathematischer Probleme sind Ausdauer, Durchhaltevermögen und Zielstrebigkeit erforderlich – Eigenschaften, die nicht nur im täglichen Leben, sondern auch für die erfolgreiche Beschäftigung mit Wissenschaft benötigt werden. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler auch, sorgfältig und genau zu arbeiten, beispielsweise beim Zeichnen und Konstruieren oder beim Arbeiten mit Termen, und entwickeln Kreativität und Fantasie, etwa beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen.

2.1 Kompetenzstrukturmodell
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Kompetenzstrukturmodell "Mathematik"

Das dem Lehrplan zugrunde liegende Kompetenzstrukturmodell orientiert sich an den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Primarstufe, für den Mittleren Schulabschluss und für die Allgemeine Hochschulreife (2003, 2004 und 2012) der Kultusministerkonferenz. Es unterscheidet zentrale Aspekte mathematischen Arbeitens, die als prozessbezogene allgemeine mathematische Kompetenzen beschrieben werden (äußerer Ring), und konkrete mathematische Inhalte, die nach Gegenstandsbereichen geordnet sind (innere Felder).

Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in aktiver Auseinandersetzung mit den mathematischen Inhalten – also nicht isoliert davon – erworben und angewandt. Entsprechend lassen sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen vielfältig inhaltsbezogen konkretisieren, wobei in der Regel an jedem Fachinhalt alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen entwickelt werden können.

Argumentieren
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Diese Kompetenz ist sowohl für das Entwickeln als auch für das Verstehen, Erläutern und Bewerten mathematischer Aussagen erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler müssen dazu mit verschiedenen Begründungsmustern (z. B. Widerlegen mit Gegenbeispiel, indirekter Beweis, Kausalkette) vertraut werden.

Probleme lösen
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Diese Kompetenz wird immer dann benötigt, wenn bei einer Aufgabe die Lösungsstruktur nicht offensichtlich ist oder mehrere aufeinander aufbauende Lösungsschritte notwendig sind, die Bearbeitung der Aufgabe also ein strategisches Vorgehen erfordert. Die Schülerinnen und Schüler müssen folglich über Strategien zum Entwickeln von Lösungsideen sowie zum Ausführen geeigneter Lösungswege verfügen (z. B. Verwenden einer Skizze, Figur, Tabelle; Einzeichnen von Hilfslinien; systematisches Probieren; Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten; Zerlegen oder Ergänzen; Nutzen von Symmetrien oder Analogien).

Modellieren
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Diese Kompetenz ist erforderlich, um einen realitätsbezogenen Sachverhalt zu verstehen, diesen zu strukturieren und schließlich die zugehörige Aufgabenstellung zu lösen. Insbesondere müssen dazu die Möglichkeiten der Mathematik hinsichtlich der Beschreibung der Realität erkannt und beurteilt werden. Eine Modellierung besteht in der Regel aus folgenden Teilschritten: Verstehen des Sachverhalts – Strukturieren und Vereinfachen des Sachverhalts – Übertragen des Sachverhalts in ein mathematisches Modell – Lösen der Aufgabe im mathematischen Modell – Interpretation und Reflexion des Ergebnisses im Sachzusammenhang (ggf. auch Diskussion von Grenzen des Modells).

Darstellungen verwenden
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Diese Kompetenz wird benötigt, um Darstellungen zu erstellen oder zu verändern, zwischen verschiedenen Darstellungsformen zu wechseln und mit vorgegebenen Darstellungen durchdacht umzugehen (insbesondere vorgegebenen Darstellungen Informationen zu entnehmen, diese zu interpretieren oder zu bewerten). Unter Darstellungen werden unter anderem Skizzen, Zeichnungen, Abbildungen, Fotos, Tabellen, Diagramme und Graphen, aber auch Formeln und sprachliche Darstellungen verstanden.

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
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Diese Kompetenz umfasst folgende mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten: Anwenden von Definitionen, Regeln, Algorithmen und Formeln; formales Arbeiten mit Zahlen, Größen, Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen und Vektoren; Ausführen von Lösungs- und Kontrollverfahren; Anwenden geometrischer Grundkonstruktionen; Verwenden von Hilfsmitteln einschließlich geeigneter Software. Diese Kompetenz beinhaltet auch mathematisches Fakten- und Regelwissen, einschließlich des Wissens über die Unterscheidung von mathematischen Konventionen (z. B. Punkt vor Strich), Axiomen und begründbaren Aussagen.

Kommunizieren
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Diese Kompetenz ist für die Bearbeitung nahezu jeder Aufgabe erforderlich. Sie besitzt sowohl eine passive als auch eine aktive Komponente. Einerseits müssen schriftliche Texte oder mündliche Aussagen mit mathematischen Inhalten verstanden, andererseits Überlegungen oder Ergebnisse schriftlich oder mündlich unter Verwendung der Fachsprache in angemessener Form dargestellt und präsentiert werden können.

Zahlen und Operationen
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Dieser Gegenstandsbereich thematisiert zum einen die Darstellung von Zahlen sowie Zahlbereichserweiterungen (bis zur Verallgemeinerung des Zahlbegriffs durch Tupel), zum anderen Rechengesetze sowie Verfahren, denen Algorithmen zugrunde liegen (z. B. das Lösen eines Gleichungssystems).

Größen und Messen
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Ausgehend von der Längen-, der Flächen- und der Volumenmessung steht in diesem Gegenstandsbereich das Grundprinzip des Messens im Vordergrund, das sukzessive auch auf Größen wie beispielsweise Änderungsraten und stochastische Kenngrößen angewandt wird, die nur im weiteren Sinne als Ergebnisse von Messprozessen aufgefasst werden können.

Raum und Form
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Dieser Gegenstandsbereich befasst sich mit dem Erkennen und Beschreiben geometrischer Strukturen in Ebene und Raum.

Funktionaler Zusammenhang
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Dieser Gegenstandsbereich zielt darauf ab, funktionale Vorstellungen und Denkweisen aufzubauen. Dabei erstreckt sich das Spektrum von der Einführung von Variablen bis hin zu Methoden der Analysis und dem Konzept der Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Daten und Zufall
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Dieser Gegenstandsbereich vernetzt Begriffe und Methoden zur Beschreibung und Modellierung zufallsabhängigen Geschehens mit solchen zur Aufbereitung und Interpretation von statistischen Daten und umfasst dabei auch Aspekte der beurteilenden Statistik.

2.4 Förderung von Kompetenzen im Unterricht
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Von entscheidender Bedeutung für die Entwicklung mathematischer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten ist es, die Schülerinnen und Schüler zu vertieftem Nachdenken und intensiver Auseinandersetzung mit den Lerninhalten anzuregen. Diese kognitive Aktivierung ist Voraussetzung für den Erwerb mathematischer Kompetenzen. Wesentlich hierfür sind die eingesetzten Fragen und Aufgaben sowie deren Einbettung in den Unterricht. Gute Aufgaben bieten ein breites Spektrum im Hinblick auf die Art der Fragestellung, den Kontext und das Anforderungsniveau, sie wecken Interesse und regen die Schülerinnen und Schüler zur Reflexion sowie zur selbständigen Beschäftigung mit Mathematik an.

Kognitive Aktivierung lässt sich sowohl z. B. in fragend-entwickelnden Unterrichtsphasen als auch in anderen Arbeits- oder Sozialformen erreichen und ist generell weitgehend methodenunabhängig. Die Variation der Unterrichtsmethoden bietet jedoch einen günstigen Rahmen für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen und hat positive Effekte auf die Motivation der Lernenden.

Kennzeichen eines guten Mathematikunterrichts ist eine Unterrichtsatmosphäre, die es begünstigt, dass sich die Schülerinnen und Schüler von mathematischen Fragestellungen angesprochen fühlen. Die Berücksichtigung von Vorerfahrungen sowie ein altersgemäßes Anknüpfen an die Lebenswelt der Kinder und Jugendlichen sind dafür unerlässlich. Erfolgreicher Mathematikunterricht setzt Prinzipien wie kumulatives, vernetzendes und entdeckendes Lernen, systematisches Wiederholen sowie Lernen aus Fehlern um. Die verschiedenen Unterrichtsinhalte müssen von den Schülerinnen und Schülern über die Jahre hinweg bewusst aufeinander bezogen und miteinander verknüpft werden können. Dadurch wird ihnen ihr persönlicher Lernzuwachs deutlich, wodurch auch ihre Motivation wächst.

Guter Mathematikunterricht muss dabei auch die Entwicklung grundlegender manueller mathematischer Fertigkeiten sowie die Festigung grundlegender Kenntnisse im Blick haben und stellt deshalb regelmäßig geeignete Aufgaben bereit, die von den Schülerinnen und Schülern ohne elektronische Hilfsmittel (z. B. Taschenrechner, Software) bzw. ohne Merkhilfe oder Formelsammlung zu bearbeiten sind.

3 Aufbau des Fachlehrplans im Fach Mathematik
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Der Fachlehrplan Mathematik gliedert sich in jeder Jahrgangsstufe in thematische Einheiten, die sog. Lernbereiche, die nach der jeweiligen inhaltlichen Schwerpunktsetzung benannt sind. Innerhalb dieser Lernbereiche befinden sich die ausformulierten Kompetenzerwartungen, in denen die Inhalte, anhand derer die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen erwerben, integriert ausgewiesen sind. So wird eine stärkere Orientierung an den Kompetenzerwartungen sowie die Verknüpfung von prozessbezogenen Kompetenzen und Inhalten unterstützt. Bei den einzelnen Formulierungen stehen jeweils bestimmte prozessbezogene Kompetenzen im Vordergrund. Da jedoch die allgemeinen mathematischen Kompetenzen immer im Verbund erworben werden, soll in jedem Lernbereich der Aufbau aller prozessbezogenen Kompetenzen gefördert werden.

Die fachlichen Inhalte lassen sich in der Regel jeweils einem Gegenstandsbereich zuordnen, wobei die fünf Gegenstandsbereiche den Fachlehrplan spiralförmig durchziehen und auch eng miteinander verknüpft sind. Ziel dieses Ansatzes ist kumulatives Lernen. Damit sollen sowohl das Verständnis für grundlegende mathematische Begriffe und Konzepte als auch das themenübergreifende, vernetzende Denken nachhaltig gefördert werden.

In den einzelnen Jahrgangsstufen setzen sich die Schülerinnen und Schüler im Wesentlichen mit den folgenden Fachinhalten auseinander:

  • Jahrgangsstufe 5
    natürliche und ganze Zahlen, Zählprinzip und Baumdiagramm, geometrische Grundbegriffe, Größen, Flächeninhalt, Schlussrechnung
  • Jahrgangsstufe 6
    rationale Zahlen, Prozentrechnung, Häufigkeiten, Daten und Diagramme, Flächeninhalt und Volumen
  • Jahrgangsstufe 7
    Terme mit Variablen, lineare Gleichungen, Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Figurengeometrie
  • Jahrgangsstufe 8
    lineare und elementare gebrochen-rationale Funktionen, lineare Gleichungssysteme, Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse, Kreis, Strahlensatz und Ähnlichkeit
  • Jahrgangsstufe 9
    reelle Zahlen, quadratische Gleichungen und Funktionen, Potenzfunktionen, Satz des Pythagoras, geometrische Aspekte der Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens), Raumgeometrie (Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel), zusammengesetzte Zufallsexperimente
  • Jahrgangsstufe 10
    exponentielles Wachstum, Logarithmus, bedingte Wahrscheinlichkeit, funktionale Aspekte der Trigonometrie, Ausbau der Funktionenlehre (insbesondere ganzrationale und gebrochen-rationale Funktionen, Grenzwerte)
  • Jahrgangsstufen 11 und 12
    Differential- und Integralrechnung, spezielle Funktionstypen, Koordinaten- und Vektorgeometrie im Raum, Binomial- und Normalverteilung, beurteilende Statistik

4 Zusammenarbeit mit anderen Fächern
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Die Mathematik steht aufgrund ihrer Universalität in enger Beziehung zu einer Vielzahl anderer Disziplinen. Sie ist unverzichtbar für Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft, spielt aber auch beispielsweise in der Psychologie, Soziologie, Pädagogik oder in der Medizin eine wichtige Rolle. Dementsprechend gibt es auch in der Schule vielfältige Verknüpfungen der Mathematik mit anderen Fächern; insbesondere mit der Physik liegt bei einer Fülle von Themen eine enge Kooperation nahe. Mit dem Fach Informatik hat die Mathematik u. a. die Konzepte Algorithmus, Funktion und Graph sowie die Methoden des Abstrahierens und des Modellierens gemeinsam. Aber auch mit der Biologie und der Chemie bieten sich gemeinsame Unterrichtsvorhaben an. Bei der Zusammenarbeit mit den gesellschaftswissenschaftlichen Fächern stehen Diagramme und Graphiken sowie statistische Methoden im Vordergrund; das Fach Wirtschaft und Recht greift zudem etwa auf Elemente der Funktionenlehre zurück. Neben konkreten thematischen Verbindungen können Einblicke in die Geschichte der Mathematik und in die Biografien von Mathematikerinnen und Mathematikern Anknüpfungspunkte zu anderen Disziplinen aufzeigen.

Medienbildung/Digitale Bildung
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Darstellungen von Informationen und Zusammenhängen, z. B. in Diagrammen, Statistiken und Graphiken, spielen im Mathematikunterricht eine zentrale Rolle. Die Schülerinnen und Schüler lernen von der Unterstufe an, solche medialen Darstellungen (z. B. in der Zeitung) kritisch zu reflektieren und zu bewerten. Gleiches gilt für den Einsatz technischer Hilfsmittel wie Taschenrechner oder einschlägiger Software (z. B. dynamische Geometriesoftware, Funktionenplotter, Tabellenkalkulation, Computeralgebrasystem). Hier steht neben dem Erlernen einer sachgerechten Nutzung von Informations- und Kommunikationstechnologie und dem Erleben außergewöhnlicher Einblicke insbesondere die Frage im Vordergrund, wann der Einsatz sinnvoll ist und welche Grenzen zu beachten sind.

Sprachliche Bildung
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Mathematik wird aufgrund ihrer hochentwickelten, international einheitlich verwendeten Symbolik oft als eigene Sprache bezeichnet. In der Schule üben sich die Schülerinnen und Schüler jedoch nicht nur in der Verwendung dieser Symbolik, sondern verbessern insbesondere beim Beschreiben und verbalen Begründen mathematischer Zusammenhänge auch ihre allgemeine Sprachkompetenz. Das Gespür für die Struktur der deutschen Sprache wird insbesondere beim sprachlichen Analysieren von Aussagen (z. B. Unterscheiden von Voraussetzung und Behauptung, Satz und Kehrsatz) weiterentwickelt; das exakte und logische Formulieren von Argumentationsketten fördert u. a. eine prägnante Ausdrucksweise. Durch einen sprachsensiblen Unterricht werden die Voraussetzungen dafür geschaffen, dass alle Schülerinnen und Schüler (insbesondere auch diejenigen mit Deutsch als Zweitsprache) dem Unterricht angemessen folgen, fachliche Kompetenzen erwerben und sich unter Benutzung der Fachsprache über fachliche Inhalte austauschen und verständigen können.

Kulturelle Bildung
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Hochentwickelte Kulturen haben sich seit jeher durch ein hohes Ansehen und einen entsprechenden Stellenwert der Mathematik ausgezeichnet. Im Mathematikunterricht gewinnen die Schülerinnen und Schüler einen Einblick in kulturelle Leistungen, die Grundlage für wesentliche Fortschritte, z. B. in der Astronomie, der Technik und der Architektur, waren. Die Beiträge bedeutender Mathematikerinnen und Mathematiker bereichern den Unterricht nicht nur in der Geometrie (z. B. Pythagoras, Thales), sondern in allen mathematischen Teildisziplinen (z. B. Leibniz, Newton in der Infinitesimalrechnung) und zeigen das gemeinsame Streben der Menschen nach Erkenntnisgewinn auf.

Alltagskompetenz und Lebensökonomie, Bildung für Nachhaltige Entwicklung (Umweltbildung, Globales Lernen) und Ökonomische Verbraucherbildung
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Im Rahmen des Mathematikunterrichts erwerben die Schülerinnen und Schüler eine Vielzahl mathematischer Kenntnisse und Strategien zur verständigen Teilhabe an wichtigen gesellschaftlichen Fragestellungen sowie zur Bewältigung von Alltagssituationen. So sind z. B. Wachstumsvorgänge, die Arbeit mit Diagrammen und Statistiken, die Prozent- und Zinsrechnung sowie die Grundlagen der Funktionenlehre zentrale Themen im Mathematikunterricht, mit denen sich die Schülerinnen und Schüler vertieft auseinandersetzen. Dies befähigt sie, typische Fragestellungen aus Ökonomie und Ökologie (z. B. im Zusammenhang mit dem Klimaschutz), aus Finanzwelt und Versicherungswesen sowie aus der Politik (z. B. im Zusammenhang mit Wahlen und Umfragen) zu beantworten, als verantwortungsvolle Bürgerinnen und Bürger Informationen aus diesen Bereichen kritisch zu hinterfragen und dabei sowohl ihre Einstellungen zu überdenken als auch ihr Handeln zu optimieren.

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