Lehrplan PLUS

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Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München

Mathematik Additum 12 (ABU, G, S, W, GH, IW)

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gültig ab Schuljahr 2018/19

Der Lernbereich 1 ist verpflichtender Bestandteil des Lehrplans für das Wahlpflichtfach Mathematik. Darüber hinaus müssen drei weitere Lernbereiche gewählt werden. Die unterrichtende Lehrkraft trifft die Auswahl.

M12 Lernbereich 1: Trigonometrie und trigonometrische Funktionen (verpflichtend) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • deuten Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus bzw. Tangens des jeweils zugehörigen spitzen Innenwinkels, um damit in anwendungsorientierten Aufgaben z. B. fehlende Seitenlängen, Entfernungen, Höhen zu berechnen.
  • veranschaulichen den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels am Einheitskreis und begründen damit elementare Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens, wie z. B. (sin(α))2 + (cos(α))2 = 1, tan(α) = sin(α)/cos(α), cos(α) = sin(90° – α), sin(α) = cos(90° – α).
  • lösen goniometrische Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion, z. B. sin(x) – 0,5 = 0. Dazu greifen sie geschickt auf nützliche Eigenschaften der Sinus‑, Kosinus‑ und Tangensfunktion und ihrer Graphen (z. B. Definitions‑ und Wertemenge, Periodizität, Nullstellen, Achsensymmetrie zur y‑Achse, Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung) zurück.
  • beschreiben die Auswirkungen (Streckung und Verschiebung) bei der Variation der Werte der Parameter a, b, c und d auf die Graphen der Funktionen x ↦ a‧sin(b‧x + c) + d, um diese für die Modellierung anwendungsorientierter Problemstellungen geeignet anzupassen.

M12 Lernbereich 2: Lineare Gleichungssysteme (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit maximal drei Gleichungen und maximal vier Unbekannten, indem sie unter Verwendung der erweiterten Koeffizientenmatrix die elementaren Umformungen des Gauß'schen Eliminationsverfahrens (Gauß-Verfahren) anwenden, um auch anwendungsorientierte Probleme übersichtlich und rasch zu lösen.
  • entscheiden, ob ein lineares Gleichungssystem, in welchem auch ein linearer Parameter auftreten kann, keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat. Im Falle unendlich vieler Lösungen geben sie die Lösungsmenge in beschreibender Form an.

M12 Lernbereich 3: Vektorrechnung (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • visualisieren die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren des Anschauungsraums mithilfe von geeigneten Repräsentanten, um z. B. grafisch die resultierende Kraft auf einen Körper zu bestimmen, auf den mehrere Teilkräfte wirken.
  • stellen die Vektoren des Anschauungsraums durch Spaltenvektoren (bzgl. der Standardbasis) dar und bilden Linearkombinationen von Vektoren, um damit die Koordinaten der Ortsvektoren von speziellen Punkten in geometrischen Objekten (z. B. Schwerpunkt eines Dreiecks) im zwei‑ oder dreidimensionalen Anschauungsraum zu berechnen.
  • entscheiden, ob eine endliche Menge von Vektoren des Anschauungsraums linear abhängig oder linear unabhängig ist. Sie untersuchen, ob sich ein Vektor als Linearkombination anderer vorgegebener Vektoren darstellen lässt, und bilden ggf. eine solche mögliche Linearkombination.

M12 Lernbereich 4: Folgen und Reihen (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ermitteln die Folgeglieder explizit definierter Folgen (z. B. arithmetische Folge, geometrische Folge) und rekursiv definierter Folgen, z. B. Fibonaccifolge, Folge der Näherungswerte für die Quadratwurzel beim Heron-Verfahren. Umgekehrt stellen sie zu vorgegebenen Folgegliedern ein geeignetes Bildungsgesetz der zugrunde liegenden Folge auf.
  • untersuchen Folgen in Bezug auf Monotonie und Beschränktheit, um z. B. zu entscheiden, ob eine Folge divergent bzw. konvergent ist. Sie bestimmen den Grenzwert einer Folge, sofern dieser existiert.
  • bilden Reihen, indem sie Partialsummen von arithmetischen und geometrischen Folgen (z. B. im Zusammenhang mit der Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung, Tilgungsrechnung) berechnen. Sie entscheiden, ob geometrische bzw. harmonische Reihen konvergent oder divergent sind.

M12 Lernbereich 5: Gebrochen-rationale Funktionen (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben und ermitteln die grundlegenden Eigenschaften (insbesondere Definitionsmenge, Art der Definitionslücken, Achsensymmetrie zur y‑Achse, Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) von echt und unecht gebrochen-rationalen Funktionen und deren Graphen, um damit auch die Graphen der Funktionen einschließlich ihrer Asymptoten zu skizzieren bzw. zu zeichnen.
  • bestimmen das Verhalten der Funktionswerte einer gebrochen-rationalen Funktion in der Umgebung der Definitionslücken der Funktion und für x → ∞ bzw. x → –∞ (auch mithilfe der Polynomdivision), um zu entscheiden, ob der Funktionsgraph (senkrechte, waagrechte, schräge) Asymptoten besitzt und von welcher Seite sich der Funktionsgraph jeweils an diese Asymptoten annähert. Sie bestimmen auch die Gleichungen aller vorhandenen Asymptoten.
  • ermitteln anhand ausreichend vieler Informationen über eine gebrochen-rationale Funktion bzw. ihres Graphen einen geeigneten Funktionsterm, um damit weitere Eigenschaften des Graphen der betrachteten Funktion zu beschreiben.

M12 Lernbereich 6: Statistik (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • unterscheiden Stichproben einer Grundgesamtheit hinsichtlich ihrer Art (z. B. Zufallsstichproben, Clusterstichproben und Quotenverfahren) und entscheiden, ob es sich dabei um eine repräsentative Erhebung handelt.
  • stellen Häufigkeitsverteilungen der Daten aus Stichproben sowohl in Tabellen als auch in unterschiedlichen Diagrammarten grafisch dar. Dazu verwenden sie eine geeignete Computersoftware zur Tabellenkalkulation und begründen, welche Darstellung für einen konkreten Zweck am aussagekräftigsten ist.
  • beurteilen mithilfe von Streudiagrammen und linearer Regression, ob zwischen zwei Zufallsvariablen im Sachzusammenhang eine Korrelation besteht und quantifizieren deren Stärke mithilfe des Korrelationskoeffizienten.

M12 Lernbereich 7: Näherungsverfahren (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • veranschaulichen verschiedene Verfahren (z. B. Intervallhalbierungsverfahren, Regula-Falsi-Verfahren, Sekanten-Verfahren, Newton-Verfahren) insbesondere zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion und führen jeweils exemplarische Schritte dieser Verfahren rechnerisch durch.
  • stellen zu den behandelten Näherungsverfahren jeweils eine geeignete Iterationsvorschrift auf und berechnen unter Einsatz einer geeigneten Computersoftware Näherungswerte, z. B. für Nullstellen einer Funktion oder Schnittstellen zweier Funktionsgraphen.
  • setzen sinnvolle Kriterien an ein konkretes Näherungsverfahren, welche zum Abbruch des Verfahrens führen sollen, z. B. geforderte Genauigkeit ist erreicht, kein konvergentes Verhalten vorhanden, vorgegebene Anzahl von Iterationsschritten ist erreicht.

M12 Lernbereich 8: Freies Projekt (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren zu einer ihnen gestellten Projektarbeit die Projektziele und die damit einhergehenden Problemstellungen. Dabei beschaffen und verarbeiten sie zielgerichtet notwendige Informationen.
  • organisieren sich selbständig in einem Projektteam und erstellen einen Projektablaufplan.
  • setzen mit den Arbeitsgruppenmitgliedern die getroffenen Arbeitsprozessentscheidungen bei der Arbeitsplanung um. Dabei achten sie insbesondere auf die fachliche Richtigkeit ihrer Ausführungen und auf eine saubere Dokumentation der Durchführung. Darüber hinaus bewerten sie mithilfe eines Soll-Ist-Vergleichs die Durchführung des Projekts in Bezug auf das Einhalten der Projektziele und des Zeit‑ und Arbeitsplanes.
  • präsentieren ihre Arbeitsergebnisse adressatengerecht unter Verwendung einer korrekten (Fach‑)Sprache.
  • reflektieren ihre Arbeitsergebnisse mit Methoden der Selbst‑ und Fremdeinschätzung und leiten daraus hinsichtlich der zu erwerbenden Fach‑, Methoden‑, Selbst‑ und Sozialkompetenz Erkenntnisse für neue Aufgabenstellungen ab.