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Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München

Mathematik 13 (T)

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gültig ab Schuljahr 2019/20

In den Lernbereichen 1 bis 5 soll keine Differenzial- und Integralrechnung mit Funktionenscharen betrieben werden.

M13 Lernbereich 1: Umkehrfunktionen (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • entscheiden, ob Funktionen (auch bei beschränkter Definitionsmenge) umkehrbar sind und bilden für die ihnen bereits bekannten Funktionstypen (insbesondere lineare und quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen) rechnerisch die jeweiligen Terme der Umkehrfunktionen. Für diese Umkehrfunktionen beschreiben und ermitteln sie auch die wichtigsten Eigenschaften, insbesondere die Definitions- und Wertemengen.
  • berechnen Steigungen der Graphen von Umkehrfunktionen an bestimmten Stellen, auch ohne dabei explizit den Term von f -1 zu bilden, indem sie den geometrischen Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f -1 nutzen. Mithilfe der Umkehrregel bestimmen sie die Ableitung weiterer Funktionstypen, insbesondere Wurzel-Funktion, ln-Funktion.
  • schließen von den Eigenschaften der Tangensfunktion auf die Eigenschaften der Arcustangensfunktion und nutzen die Umkehrregel, um die Ableitung der Arcustangensfunktion zu berechnen. Die Definitionsmenge der Tangensfunktion bleibt dabei auf das Intervall ]-π/2;π/2[ eingeschränkt.

M13 Lernbereich 2: Vertiefung des Integralbegriffs (ca. 8 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • schätzen mithilfe der Streifenmethode den Flächeninhalt krummlinig begrenzter Flächen durch die Bildung von Ober- und Untersummen ab. Sie berechnen den exakten Wert der Maßzahl des Flächeninhalts dieser Flächen, indem sie bei der Berechnung der Ober- und Untersummen die Streifenbreite gegen Null gehen lassen.
  • beschreiben und ermitteln wichtige Eigenschaften von Integralfunktionen (insbesondere deren Nullstellen sowie Extrem- und Wendestellen der Graphen dieser Integralfunktionen), indem sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI) nutzen. Sie argumentieren mit diesen Eigenschaften auch dann, wenn sich der zugehörige Funktionsterm der Integralfunktion nicht integralfrei darstellen lässt.

M13 Lernbereich 3: Integralrechnung, Integrationsverfahren (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen Stammfunktionen integrierbarer Funktionen mithilfe der Methode der partiellen Integration, der Substitution oder der Partialbruchzerlegung, um damit bestimmte Integrale bzw. Maßzahlen von Flächeninhalten zu berechnen.
  • bilden die integralfreien Darstellungen von unbestimmten Integralen der Form Integral von f Strich von x geteilt durch f von x dx, Integral von a mal x plus b geteilt durch k mal Klammer auf x minus c Klammer zu hoch n dx, a, b, c sind Elemente der Menge der reellen Zahlen, k ist Element der Menge der reellen Zahlen ausgenommen der null, n ist Element der Menge der natürlichen Zahlen und Integral von 1 geteilt durch Klammer auf a mal x quadrat plus b mal x plus c Klammer zu dx, a, b, c sind Elemente der Menge der reellen Zahlen, a ist ungleich null sowie bei Integralen, die sich auf einen dieser drei Typen zurückführen lassen.
  • berechnen uneigentliche Integrale 1. und 2. Art, um damit Maßzahlen der Flächeninhalte von Flächen zu ermitteln, die in x- oder y-Richtung unbegrenzt sind.

M13 Lernbereich 4: Anwendung der Differenzial- und Integralrechnung (ca. 16 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • berechnen unter Verwendung der Integralrechnung das Volumen von Körpern, die durch die Rotation von Funktionsgraphen um die x‑Achse bzw. die y‑Achse beschrieben werden können.
  • ermitteln besondere Eigenschaften von gebrochen-rationalen Funktionen und von Funktionen, die durch Verkettung und/oder Verknüpfungen von e-, ln-, Wurzel- oder der Arcustangensfunktion mit ganzrationalen oder gebrochen-rationalen Funktionen entstehen. Dabei bestimmen sie das Steigungsverhalten, das Krümmungsverhalten, die Koordinaten von Extrem-, Terrassen- und Wendepunkten der Graphen sowie die Wertemengen dieser Funktionen und berechnen Maßzahlen von Flächeninhalten mithilfe der Integralrechnung im Zusammenhang mit diesen Funktionen. Sie lösen damit auch Probleme, die sich unter Verwendung solcher Funktionstypen aus idealisierten und modellierten Anwendungssituationen ergeben.
  • zeichnen anhand der im Rahmen einer Kurvendiskussion ermittelten Eigenschaften von gebrochen-rationalen Funktionen und von Funktionen, die durch Verkettung und/oder Verknüpfungen von e-, ln-, Wurzel- oder der Arcustangensfunktion mit ganzrationalen oder gebrochen-rationalen Funktionen entstehen, die zugehörigen Graphen in einem vorgegebenen Definitionsbereich.

M13 Lernbereich 5: Gewöhnliche Differenzialgleichungen (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • begründen, welche Ordnungen ausgewählte gewöhnliche Differenzialgleichungen besitzen, und überprüfen, ob vorgegebene Funktionen Lösungen dieser Differenzialgleichungen sind.
  • bestimmen die allgemeine Lösung von separierbaren gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe der Methode der Trennung der Variablen.
  • ermitteln ausgehend von der allgemeinen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung die spezielle Lösung für ein Anfangs- oder Randwertproblem auch bei anwendungsorientierten Situationen, z. B. radioaktiver Zerfall.

M13 Lernbereich 6: Zufallsexperiment und Ereignis (ca. 8 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • entscheiden für verschiedene Alltagssituationen, ob sich darin Abläufe finden, bei denen es sich um Zufallsexperimente handelt. Sie dokumentieren die Zufallsexperimente insbesondere mit Baumdiagrammen und fassen alle möglichen Ausgänge des Experiments in geeigneten Ergebnisräumen zusammen, deren Mächtigkeit sie ebenfalls bestimmen.
  • simulieren realitätsbezogene Zufallsexperimente mit dem Urnenmodell.
  • beschreiben Ereignisse eines Zufallsexperiments, deren Gegenereignisse und Verknüpfungen mit Worten und stellen sie als Teilmengen eines geeigneten Ergebnisraums dar (auch mit Venn-Diagrammen). Damit prüfen sie, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist, und ob es identisch, vereinbar oder unvereinbar mit einem anderen Ereignis ist oder dieses nach sich zieht. Dabei nutzen sie auch die Gesetze von de Morgan.
Alltagskompetenzen Alltagskompetenzen

M13 Lernbereich 7: Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ermitteln absolute und relative Häufigkeiten von Ereignissen für eine endliche Anzahl von Wiederholungen eines Zufallsexperiments, auch unter Verwendung des Satzes von Sylvester und der Gegenereignisregel.
  • bestimmen für zwei Ereignisse unter Verwendung einer Vierfeldertafel die absoluten und relativen Häufigkeiten dafür, dass insbesondere beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, genau eines von beiden eintritt bzw. keines von beiden eintritt.
  • nutzen unter Bezugnahme auf das empirische Gesetz der großen Zahlen relative Häufigkeiten als sinnvolle Schätzwerte zur Vorhersage von Gewinnchancen bei Zufallsexperimenten.
  • grenzen anhand von Beispielen Laplace-Experimente von solchen Zufallsexperimenten ab, die sich nicht mithilfe der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse modellieren lassen, und berechnen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die bei Laplace-Experimenten auftreten.
  • berechnen und interpretieren Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente. Dazu nutzen sie übersichtliche Baumdiagramme, die Pfadregeln und die von den relativen Häufigkeiten übertragbaren Rechenregeln.
  • bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten, um diese in Bezug auf den Sachkontext zu interpretieren.
  • entscheiden, ob zwei Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig sind, und erläutern ihre Entscheidung im Sachzusammenhang.

M13 Lernbereich 8: Grundlagen der Kombinatorik (ca. 6 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen für kombinatorische Problemstellungen die Anzahl der Belegungsmöglichkeiten für ein k-Tupel mithilfe des allgemeinen Zählprinzips. Damit erschließen sie sich unter anderem die Anzahl der Möglichkeiten für die Bildung eines Passworts.
  • lösen kombinatorische Probleme aus realen Alltagssituationen. Insbesondere bestimmen sie die Anzahl der Möglichkeiten, aus n unterscheidbaren Kugeln genau k Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge zu ziehen sowie die Anzahl der Möglichkeiten, die Buchstaben eines Wortes zu vertauschen.
Alltagskompetenzen Alltagskompetenzen

M13 Lernbereich 9: Bernoulli-Ketten (ca. 6 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • entscheiden, ob es sich bei speziellen Zufallsexperimenten um Bernoulli-Experimente (z. B. Werfen einer Laplace-Münze) oder um Bernoulli-Ketten (z. B. dreimaliges Werfen eines Laplace-Würfels) handelt, und geben ggf. die zugehörige Kettenlänge n und Trefferwahrscheinlichkeit p an.
  • bestimmen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die bei Bernoulli-Ketten auftreten. Sie berechnen z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünfmaligen Drehen eines Glücksrades mindestens einmal ein Treffer angezeigt wird.
Alltagskompetenzen Alltagskompetenzen

M13 Lernbereich 10: Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • erläutern anhand geeigneter Realsituationen die Begriffe Zufallsgröße und Zufallswert. Sie stellen den durch eine diskrete Zufallsgröße festgelegten Zusammenhang zwischen den Ergebnissen eines Zufallsexperiments und den Zufallswerten tabellarisch dar.
  • berechnen die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass eine diskrete Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt. Sie stellen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße in Tabellenform sowie in grafischer Darstellung als Stabdiagramm oder Histogramm dar.
  • berechnen die charakteristischen Maßzahlen (Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung) von Zufallsgrößen und interpretieren diese in Bezug auf den Sachkontext, um z. B. zu beurteilen, ob Spielangebote fair, günstig oder ungünstig sind, oder um über die Vergleichbarkeit zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu entscheiden. Bei der Berechnung der Varianz nutzen sie vorteilhaft die Verschiebungsformel.
  • entscheiden, ob eine Zufallsgröße binomialverteilt ist, und bestimmen ggf. deren Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
  • berechnen und veranschaulichen bei Zufallsgrößen, insbesondere bei binomialverteilten Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeiten der Form P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) oder P(a ≤ X ≤ b), auch mit a = μ – nσ und b = μ + nσ.

M13 Lernbereich 11: Testen von Hypothesen (ca. 8 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • stellen für Realsituationen Hypothesen bezüglich einer bestimmten Grundgesamtheit auf und erläutern ihr Vorgehen, sich anhand einer Stichprobe aus dieser Grundgesamtheit mithilfe einer sinnvollen Entscheidungsregel für oder gegen diese Hypothesen zu entscheiden.
  • formulieren die Testgröße (nur binomialverteilt) im Rahmen eines Hypothesentests. Sie entwickeln eine für die Nullhypothese geeignete Entscheidungsregel durch die Angabe eines Annahmebereichs und eines Ablehnungsbereichs, und sie untersuchen, wie sich das Verändern dieser Bereiche auf fehlerhafte Entscheidungen auswirkt.
  • ermitteln beim einseitigen Signifikanztest mit binomialverteilter Testgröße zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau den maximalen Ablehnungs- bzw. Annahmebereich der Nullhypothese. Sie beschreiben die dabei auftretenden Fehler erster und zweiter Art und berechnen und beurteilen deren Wahrscheinlichkeiten (Risiken erster und zweiter Art).