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Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München

Mathematik Additum 13

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gültig ab Schuljahr 2019/20

Vier der neun Lernbereiche müssen gewählt werden. Die unterrichtende Lehrkraft trifft die Auswahl.

M13 Lernbereich 1: Komplexe Zahlen (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • stellen komplexe Zahlen z in der algebraischen Form z = a + b‧i oder mithilfe der Polarkoordinaten |z|, φ in der Polarform z = |z|‧(cos(φ) + i‧sin(φ)) bzw. in der Exponentialdarstellung der Polarform z = |z|‧ei‧φ dar und wechseln zwischen diesen Darstellungsformen sicher. Damit berechnen sie die Summe, die Differenz, das Produkt und den Quotienten von zwei komplexen Zahlen.
  • stellen komplexe Zahlen als Ortsvektoren von Punkten in der Gauß'schen Zahlenebene dar und visualisieren dort auch die Verknüpfungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) zweier komplexer Zahlen.
  • stellen überlagerte harmonische Schwingungen mithilfe von Zeigerdiagrammen dar, um z. B. die resultierende Elongation aus überlagerten Schwingungen gleicher Frequenz zu bestimmen.

M13 Lernbereich 2: Beweisverfahren (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beweisen auf der Grundlage bekannter geometrischer Eigenschaften aufbauend elementargeometrische Sätze, z. B. „Die Mittelsenkrechten bzw. Seitenhalbierenden bzw. Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt“.
  • beweisen mathematische Aussagen mittels direkter Beweisführung. Dabei unterscheiden sie zwischen bereits geltenden Voraussetzungen, logischen Schlussfolgerungen und abschließender Konklusion, z. B. „Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar“.
  • begründen mathematische Behauptungen mittels indirekter Beweisführung, indem sie zunächst bewusst das Gegenteil der Behauptung voraussetzen, um davon ausgehend durch logische Schlussfolgerungen einen Widerspruch zu bekannten Voraussetzungen herzustellen, z. B. „Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl“.
  • weisen mittels vollständiger Induktion nach, dass bestimmte mathematische Aussageformen, deren einzige freie Variable eine natürliche Zahl ist, für alle natürlichen Zahlen gelten. Dabei unterscheiden sie zwischen Induktionsanfang, Induktionsschritt, Induktionsbehauptung und Induktionsschluss, z. B. „Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n – 1 ist gleich dem Quadrat von n“.

M13 Lernbereich 3: Beurteilende Statistik (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • stellen bei empirisch erhobenen Daten die Verteilung der Häufigkeiten einer bestimmten Größe (z. B. Intelligenzquotient, Körpergröße von Frauen im Alter zwischen 20 und 50 Jahren) grafisch dar und argumentieren, ob diese Größe näherungsweise als normalverteilt betrachtet werden kann.
  • visualisieren und beschreiben den Einfluss der Parameter μ und σ auf die Normalverteilung anhand des Graphen ihrer Dichtefunktion Phi Doppelpunkt x wird zugeorndet zu eins geteilt durch Klammer auf sigma mal Wurzel aus zwei pi Klammer zu mal e hoch minus Klammer auf x minus mü Klammer zu quadrat geteilt durch Klammer auf zwei mal sigma quadrat Klammer zu (Gauß’sche Glockenkurve), z. B. mithilfe einer dynamischen Mathematik-Software.
  • untersuchen unter Verwendung des Χ2‑Unabhängigkeitstests, ob ein Merkmal aus einer Gruppe unabhängig von einem anderen Merkmal aus einer anderen Gruppe auftritt, z. B. Zahl der Prüfungswiederholungen von Studierenden vs. Anzahl der Arbeitsstunden von Studierenden pro Woche in ihren Nebenjobs, Storchenpopulation vs. Geburtenrate. Dazu interpretieren sie, auch mithilfe einer geeigneter Software (z. B. Tabellenkalkulation), die Ergebnisse des Χ2‑Unabhängigkeitstests im Sachzusammenhang, und entscheiden, ob die Hypothese der Unabhängigkeit von zwei Merkmalen angenommen werden kann.
  • prüfen mithilfe des t-Testes, ob sich zwei unabhängige bzw. verbundene Stichproben bezüglich ihrer Mittelwerte signifikant voneinander unterscheiden, um die Aussagekraft von statistischen Erhebungen zu beurteilen, z. B. Vergleich der Wirksamkeit zweier blutdrucksenkender Medikamente.
  • prüfen anhand des Zwei-Stichproben-F-Testes, ob sich die Varianzen zweier Stichproben nur zufällig oder signifikant voneinander unterscheiden, z. B. Vergleich der Streuung der Qualität eines Produkts aufgrund zweier unterschiedlicher Herstellungsverfahren.
Alltagskompetenzen Alltagskompetenzen

M13 Lernbereich 4: Matrizen und Determinanten (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • lösen lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren, indem sie die Gleichungssysteme mithilfe von Matrizen darstellen und diese mittels geeigneter Zeilenumformungen auf Dreiecksmatrizen überführen, um z. B. die prozentualen Anteile mehrerer Stoffe in einem Gemenge zu bestimmen.
  • berechnen die Determinante von quadratischen Matrizen. Dazu verwenden sie verschiedene Verfahren (insbesondere Leibnizformel, Laplace'scher Entwicklungssatz, Gauß'sches Eliminationsverfahren, Satz von Sarrus für 3 x 3-Matrizen) und nutzen außerdem vorteilhaft die axiomatischen Eigenschaften der Determinanten-Funktion: multilinear, alternierend, normiert.
  • ermitteln die Mächtigkeit der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten und n Gleichungen, indem sie die Determinante von quadratischen Matrizen unter Anwendung der Cramer'schen Regel berechnen. Für |L| = 1 bestimmen sie auch die Lösung des Gleichungssystems.

M13 Lernbereich 5: Sphärische Geometrie (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben die Lage von Punkten im kartesischen Koordinatensystem sowie im Kugelkoordinatensystem und rechnen die Koordinaten bezüglich eines Systems in die Koordinaten bezüglich des anderen Systems um.
  • lokalisieren sphärische Punkte bei Angabe von Längen- und Breitengrad, Meridiane und Breitenkreise, Großkreise und Kleinkreise, sphärische Strecken, sphärische Zweiecke und Dreiecke, z. B. am Modell oder anhand einer Skizze.
  • entscheiden, ob ein sphärisches Dreieck ein Euler'sches Dreieck ist, und identifizieren dessen zugehörige Scheitel-, Neben- bzw. Gegendreiecke.
  • berechnen den sphärischen Abstand zweier sphärischer Punkte (z. B. den Abstand zwischen München und New York) und bestimmen für sphärische Zweiecke und Euler'sche Dreiecke die Größe der Innenwinkel und deren Flächeninhalt. Sie entscheiden, ob zwei sphärische Punkte diametral sind, ob ein sphärischer Punkt und ein Großkreis polar sind und ob ein sphärisches Dreieck das Polardreieck eines vorgegeben Euler'schen Dreiecks ist.

M13 Lernbereich 6: Taylorpolynome (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • nähern den Verlauf eines Funktionsgraphen innerhalb einer kleinen Umgebung einer Stelle des Definitionsbereichs durch eine Gerade oder durch eine Parabel an und stellen auch den jeweils zugehörigen linearen bzw. quadratischen Term der Approximationsfunktion auf.
  • entwickeln das Taylorpolynom zu einer Funktion f bis maximal zur vierten Ordnung an einer beliebigen Stelle des Definitionsbereichs und schätzen den durch die Approximation verursachten Fehler durch das Restglied von Lagrange ab. Dabei untersuchen sie den Fehlerterm auch hinsichtlich der Güte der Abschätzung für ein bestimmtes Intervall.
  • visualisieren mit geeigneter Software die Folge der Graphen der Taylorpolynome mit steigendem Grad und interpretieren das Konvergenzverhalten dieser Folge hinsichtlich der zu approximierenden Funktionen.
  • berechnen Näherungswerte (z. B. der Euler'schen Zahl e), unter Verwendung der Taylorformel geeigneter Funktionen.

M13 Lernbereich 7: Boole'sche Algebra (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • vereinfachen mithilfe grundlegender Rechenregeln (z. B. Kommutativ-, Assoziativ-, Distributiv- oder De-Morgan-Gesetze) Boole'sche Ausdrücke.
  • realisieren einfache digitale Schaltungen mithilfe grundlegender digitaler Gatter: AND, OR, NOT. Dabei verwenden sie deren Schaltsymbole und ihre Wahrheitstabellen.
  • bestimmen mithilfe der Karnaugh-Veitch-Diagramme die Boole'schen Ausdrücke in einfacher Form, um digitale verknüpfte Schaltungen mit bis zu vier Eingangs- und einer Ausgangsvariablen zu vereinfachen.

M13 Lernbereich 8: Kurvenparametrisierung (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ermitteln für einfache Kurven des IR2 (z. B. Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel, Zykloide, Epizykloide, Konchoide, Kardioide) eine jeweils geeignete Kurvenparametrisierung und bestimmen für den Kurvenparameter einen sinnvollen Gültigkeitsbereich, um z. B. die Bahnkurve eines Körpers im Raum zu beschreiben.
  • zeichnen zu einer vorgegebenen (zweidimensionalen) Kurvenparametrisierung die zugehörige Kurve (auch mithilfe eines geeigneten Computerprogramms) unter Berücksichtigung des Gültigkeitsbereichs für den Kurvenparameter.
  • untersuchen, ob sich eine Kurve im IR2 oder Teile einer Kurve im IR2 als Graph einer geeigneten Funktion darstellen lassen und ermitteln ggf. deren Funktionsterm.
  • ermitteln in einem beliebigen Punkt einer Kurve im IR2 die Gleichung der Tangente an die Kurve. Sie bestimmen die Koordinaten der Punkte einer Kurve im IR2, in welchen die Tangente an die Kurve parallel zu einer Koordinatenachse verläuft.

M13 Lernbereich 9: Freies Projekt (optional) (ca. 14 Std.)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren zu einer ihnen gestellten Projektarbeit die Projektziele und die damit einhergehenden Problemstellungen. Dabei beschaffen und verarbeiten sie zielgerichtet notwendige Informationen.
  • organisieren sich selbständig in einem Projektteam und erstellen einen Projektablaufplan.
  • setzen mit den Arbeitsgruppenmitgliedern die getroffenen Arbeitsprozessentscheidungen bei der Arbeitsplanung um. Dabei achten sie insbesondere auf die fachliche Richtigkeit ihrer Ausführungen und auf eine saubere Dokumentation der Durchführung. Darüber hinaus bewerten sie mithilfe eines Soll-Ist-Vergleichs die Durchführung des Projekts in Bezug auf das Einhalten der Projektziele und des Zeit- und Arbeitsplanes.
  • präsentieren ihre Arbeitsergebnisse adressatengerecht in geeigneter Form unter Verwendung einer korrekten (Fach-)Sprache.
  • reflektieren ihre Arbeitsergebnisse mit Methoden der Selbst- und Fremdeinschätzung und leiten daraus hinsichtlich der zu erwerbenden Fach-, Methoden-, Selbst- und Sozialkompetenz Erkenntnisse für neue Aufgabenstellungen ab.