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Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München

Mathematik 9 (I)

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M9 Lernbereich 1: Reelle Zahlen (ca. 10 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen, wissen, dass zum Beispiel Wurzel aus Zwei keine rationale Zahl ist und begründen damit die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die Menge der reellen Zahlen.
  • schätzen den Wert von Quadratwurzeln ab und lösen quadratische Gleichungen der Form x2 = a.
  • formen einfache Wurzelterme um, radizieren teilweise und machen den Nenner bei Termen der Form a durch Wurzel aus b rational.

M9 Lernbereich 2: Zentrische Streckung (ca. 17 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • identifizieren die zentrische Streckung als Ähnlichkeitsabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften.
  • bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung Punkte und ebene Figuren ab und lösen geometrische Problemstellungen auch mit Unterstützung geeigneter Geometriesoftware.
  • analysieren den Einfluss des Streckungsfaktors auf die Eigenschaften (Lage, Länge, Flächeninhalt) der Bildfigur, erkennen dabei verhältnistreue Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen und beschreiben Sonderfälle der zentrischen Streckung.
  • nutzen die Strahlensätze zum Nachweis der Parallelität von Strecken und zur Berechnung von Streckenlängen insbesondere in anwendungsbezogenen Aufgaben.
  • multiplizieren eine Zahl mit einem Vektor und berechnen damit die Koordinaten von Urpunkten, Bildpunkten sowie den Wert des Streckungsfaktors.
  • nutzen das Parameterverfahren, um die Gleichungen zentrisch gestreckter Geraden und Parabeln zu ermitteln.
  • teilen Strecken in einem vorgegebenem Verhältnis (z. B. Goldener Schnitt) und ermitteln die Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks zeichnerisch und rechnerisch.
  • erläutern den Begriff der Ähnlichkeit anschaulich und überprüfen, ob zwei Figuren, insbesondere Dreiecke, zueinander ähnlich sind.

M9 Lernbereich 3: Rechtwinklige Dreiecke (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • lösen mithilfe des Satzes des Pythagoras Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren, die rechtwinklige Teildreiecke enthalten.
  • verwenden die Umkehrung des Satzes des Pythagoras zum Nachweis der Rechtwinkligkeit von Dreiecken.
  • nutzen den Satz des Pythagoras, um Streckenlängen im Koordinatensystem sowie den Betrag eines Vektors zu berechnen.
  • untersuchen mithilfe des Satzes des Pythagoras funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme (z. B. variable Streckenlängen).
  • identifizieren bei Körpern rechtwinklige Dreiecke und berechnen damit Streckenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras.
  • identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus und Tangens und lösen damit Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren und Körpern.

M9 Lernbereich 4: Kreis (ca. 10 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben den proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen Inhalt der Kreisfläche und Quadrat des Kreisradius' und wissen um die Irrationalität der Kreiszahl π.
  • führen Berechnungen an Kreis, Kreissektor, Kreissegment und zusammengesetzten Figuren bei inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben durch.

M9 Lernbereich 5: Raumgeometrie (ca. 20 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben beispielhaft das Prinzip von Cavalieri oder geeigneter Grenzwertbetrachtungen zur Volumenbestimmung von Körpern.
  • beschreiben Oberflächen von Prismen, Pyramiden, geraden Kreiszylindern, geraden Kreiskegeln z. B. anhand geeigneter Netze und Abwicklungen.
  • lösen Aufgaben im Bereich der Volumen- und Oberflächenberechnung (Prisma, Pyramide, gerader Kreiskegel, gerader Kreiszylinder, Kugel und zusammengesetzte Körper) unter Verwendung geeigneter Lösungsstrategien und durch mathematisches Modellieren.
  • untersuchen funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme bei Körpern (ohne funktionale Abhängigkeit von einem variablen Winkelmaß).

M9 Lernbereich 6: Systeme linearer Gleichungen (ca. 12 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • lösen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen grafisch und algebraisch mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren auch bei geometrischen und sachbezogenen Aufgabenstellungen.

M9 Lernbereich 7: Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (ca. 42 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = ax2 + bx + c und y = a ( x – xS )2 + yS als Parabelgleichungen und beschreiben die Bedeutung der auftretenden Parameter.
  • bestimmen die Gleichung einer quadratischen Funktion aus vorgegebenen Bestimmungsstücken und Graphen, wechseln durch Termumformung zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktsform und nutzen die Vorteile der jeweiligen Form situationsgerecht.
  • ermitteln die Koordinaten des Scheitelpunkts von Parabeln, bestimmen die Definitions- und Wertemenge und zeichnen die Graphen von quadratischen Funktionen.
  • lösen Aufgaben zu quadratischen Funktionen (zum Beispiel bei Flug- und Wurfparabeln) und Extremwertprobleme bei Aufgaben mit funktionalen Abhängigkeiten (z. B. bei Flächeninhalten).
  • analysieren Parabelscharen und ermitteln mit dem Parameterverfahren die Gleichung des Trägergraphen der Scheitelpunkte.
  • ermitteln die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen auch mithilfe der Lösungsformel, nutzen die Diskriminante, um Voraussagen über die Lösbarkeit bzw. über die Anzahl der Lösungen zu treffen, und berechnen die Nullstellen quadratischer Funktionen.
  • bestimmen die Lösungsmenge quadratischer Gleichungssysteme auch zur Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade bzw. zweier Parabeln.
  • interpretieren die geometrische Bedeutung der Diskriminante für die Lösung von Tangentialproblemen bei Parallelenscharen.
  • lösen Wurzelgleichungen und beachten dabei die Definitionsmenge.

M9 Lernbereich 8: Daten und Zufall (ca. 9 Std.)
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Kompetenzerwartungen und Inhalte

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben das empirische Gesetz der großen Zahlen anhand von durchgeführten oder simulierten Zufallsexperimenten (z. B. Werfen eines Reißnagels, eines Spielwürfels oder einer Münze) auch unter Zuhilfenahme elektronischer Hilfsmittel.
  • benutzen den Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace und grenzen ihn von anderen Wahrscheinlichkeitsbegriffen ab (z. B.: „Die Chance ist eins zu eins.“ bzw. „... fifty-fifty“, „Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer Sechs ist eins zu fünf.“).
  • bilden den Ergebnisraum als Menge aller möglichen Ergebnisse bei Zufallsexperimenten.
  • stellen Ereignisse und Gegenereignisse als Teilmengen des Ergebnisraums dar, um damit Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten zu berechnen.
  • schätzen Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse ab, begründen ihre Einschätzung und vergleichen sie mit der berechneten Wahrscheinlichkeit.
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