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Mathematik 10 (zweistufige Wirtschaftsschule)

M10 Lernbereich 1: Potenzen
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • schreiben Produkte bestehend aus gleichen Faktoren als Potenz, um große und kleine Zahlen kürzer darzustellen. Sie geben ausgehend von konkreten Beispielen (z. B. Längeneinheiten, Bakterienwachstum, Datenverarbeitung) Zahlen in dieser verkürzten Schreibweise an. Sie verwenden insbesondere zur Basis 10 sowohl positive als auch negative Exponenten.
  • formulieren die Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen Exponenten und wenden diese bei der Vereinfachung von Termen an.
  • stellen Zahlenfolgen mit Potenzen als Terme dar, ergänzen diese um weitere Elemente und formulieren die dazugehörigen Bildungsgesetze in eigenen Worten.
  • berechnen die Lösung der Gleichung xn = a (insbesondere x² = a), indem sie neben den rationalen Zahlen nun auch irrationale Zahlen verwenden. Sie rechnen mit Wurzeln und nutzen dabei geltende Rechenregeln.

M10 Lernbereich 2: Strahlensätze
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen mit einfachen Hilfsmitteln (z. B. Försterdreieck, Peilstäbe, Daumensprung) näherungsweise Höhen und Abstände im Gelände an realen Objekten und erklären ihre Vorgehensweise.
  • formulieren die Strahlensätze und wenden sie auf verschiedene Figuren (x-Figuren und v-Figuren) an. Dabei bestimmen sie zeichnerisch und rechnerisch fehlende Streckenlängen, teilen eine beliebige Strecke in gleichlange Abschnitte (z. B. Halbieren) und erläutern die Konstruktion der Teilungspunkte.
  • interpretieren reale Problemstellungen aus ihrer Umwelt und der Technik (z. B. Größenverhältnisse bei optischen Geräten), erklären vorhandene Zusammenhänge in Hinblick auf die Problemsituation und führen mithilfe der Strahlensätze problemorientierte Berechnungen durch (z. B. Bestimmung der Entfernung unzugänglicher Objekte).
  • nutzen die Strahlensätze, um ähnliche geometrische Figuren zu definieren und differenzieren zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz.

M10 Lernbereich 3: Satz des Pythagoras
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren und begründen den Satz des Pythagoras mithilfe geometrischer Veranschaulichungen. Sie beschreiben dabei rechtwinklige Dreiecke und nutzen die Fachbegriffe Hypotenuse und Kathete.
  • führen Berechnungen von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck sowie Längenberechnungen in rechtwinkligen ebenen Figuren und in geraden Körpern mithilfe des Satzes des Pythagoras durch und interpretieren die Ergebnisse.
  • nutzen die Umkehrung des Satzes des Pythagoras bei der Konstruktion rechter Winkel auch in alltäglichen Anwendungssituationen, z. B. im Gelände.
  • führen mithilfe des Lehrsatzes des Pythagoras problemorientierte Berechnungen durch (z. B. Dimensionen rechtwinkliger Flächen bzw. Körper, Entfernungen, Höhen) und reflektieren ihre Vorgehensweise.
  • entnehmen oder ermitteln Längenmaße aus grafischen Darstellungen rechtwinkliger Flächen und Körper, stellen Zusammenhänge auf und nutzen diese, um Sachverhalte zu erklären und sachbezogene Aufgaben zu lösen (umfangreiche Aufgabenstellungen, z. B. mit vorgegebener Skizze oder Abbildung).

M10 Lernbereich 4: Lineare Funktionen
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • stellen Terme aus Sachkontexten oder bildhaften Darstellungen mit zwei Variablen auf und beschreiben Terme verbal. Sie ordnen einer Darstellung einen Term zu und umgekehrt.
  • berechnen den Wert von Termen mit zwei Variablen mithilfe von Tabellen. Sie stellen Wertetabellen auf, in denen sie eine Größe in Abhängigkeit einer zweiten berechnen, um dies bei der Berechnung von Wertepaaren von Funktionen zu nutzen, z. B. auch mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen.
  • beschreiben die Abhängigkeit zweier Größen unter Nutzung der Funktionsdefinition, insbesondere lineare Abhängigkeiten und wenden diese auf Realsituationen aus dem Alltag (z. B. Handytarife), den Naturwissenschaften (z. B. Temperaturkurven) und der Wirtschaft (z. B. Kosten- und Preisfunktionen) an.
  • beschreiben und analysieren den Verlauf des Graphen linearer Funktionen f: y = mx + t in Abhängigkeit der Parameter m und t (auch die Sonderfälle m = 0 oder t = 0). Dabei interpretieren sie den Anstieg mithilfe des Steigungsdreiecks. Sie nutzen die Deutung der Parameter sowohl in Konstruktionsaufgaben (Konstruktion paralleler Geraden) als auch in Anwendungssituationen, z. B. bei der Interpretation von Grund- und Verbrauchsgebühren, Vergleich von Handytarifen.
  • zeichnen Funktionsgraphen linearer Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks und Wertetabellen, ordnen Funktionstermen den entsprechenden Graphen zu und umgekehrt. Sie leiten aus dem Verlauf der Geraden den Funktionsterm ab und nutzen zur Darstellung der Funktionen auch geeignete Softwareprogramme.
  • erläutern die Bedeutung der Achsenschnittpunkte der Graphen linearer Funktionen in Anwendungssituationen (lineare Abnahme, z. B. Preisabsatzfunktion, Leerung eines Behälters) und bestimmen diese grafisch und rechnerisch als Lösung einer linearen Gleichung.
  • bestimmen die Normalform einer Geradengleichung rechnerisch mithilfe zweier gegebener Punkte und nutzen dies in Anwendungssituationen, z. B. Berechnung der Steigung eines Streckenprofils, Berechnung von Grund- und Verbrauchsgebühren bei Strom- oder Handytarifen.
  • geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die diese mathematisch modellieren (Beispiele für lineare Wachstumsprozesse, lineare Abnahme, direkt proportionale Zusammenhänge).
  • modellieren funktionale Zusammenhänge mit einer konstanten Änderungsrate aus Sachkontexten, stellen dazu die Funktionen grafisch dar, leiten den Funktionsterm ab und beschreiben die Änderung der Größen verbal. Dabei werden Abweichungen bei der Verwendung realer Daten (z. B. Messwerte) kritisch reflektiert.

M10 Lernbereich 5: Lineare Gleichungssysteme
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen ausgehend von den Graphen zweier linearer Funktionen anschaulich die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
  • bestimmen rechnerisch mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens und eines weiteren Verfahrens (Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren) die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.
  • lösen Realsituationen (z. B. Treffpunkt von zwei entgegenkommenden Autofahrern, die mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf derselben Straße unterwegs sind) rechnerisch und veranschaulichen diese grafisch.

M10 Lernbereich 6: Quadratische Funktionen und Gleichungen
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formen Terme mit zwei Variablen durch Ausmultiplizieren (z. B. unter Zuhilfenahme von Malkreuzen oder Rechteckmodellen) in gleichwertige Terme um. Dies nutzen sie beim Aufstellen und Vereinfachen von quadratischen Funktionstermen in inner- und außermathematischen Aufgabenstellungen.
  • stellen mithilfe von Wertetabellen quadratische Funktionen der Form y=ax²+bx+c auch mit geeigneten Computerprogrammen (Tabellenkalkulation, dynamische Geometriesoftware) grafisch dar, ordnen gegebenen Funktionstermen den richtigen Graphen zu und umgekehrt. Sie verknüpfen die Funktionsgraphen mit realen Sachverhalten, z. B. Wurfparabel, Brückenbögen, Berechnung von Bremswegen.
  • analysieren und charakterisieren die Lage und Form der Parabeln in Abhängigkeit der Parameter bei gegebener Scheitel- oder allgemeiner Form der Funktionsgleichung. Sie nutzen die Deutung der Parameter in Anwendungssituationen.
  • wandeln die allgemeine Funktionsgleichung in die Scheitelform (mithilfe der Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten) um und umgekehrt. Bei der Lösung alltagsnaher Probleme (z. B. Vergleich von Flugbahnen, Verlauf von Brückenbögen, Untersuchung von Gewinnfunktionen) wählen sie eine geeignete Form der Funktionsgleichung aus. Sie nutzen die Berechnung des Scheitelpunktes zum Zeichnen von Parabeln ohne Wertetabelle und zur Lösung einfacher Extremwertaufgaben (Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten).
  • lösen rein quadratische Gleichungen mithilfe des Wurzelziehens und gemischtquadratische Gleichungen mithilfe der Lösungsformel. Sie nutzen dies zur Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen in Anwendungssituationen. Sie überprüfen ihre Ergebnisse grafisch, z. B. auch unter Verwendung geeigneter Software.
  • treffen Aussagen über die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen und begründen diese mithilfe des Diskriminantenkriteriums. Sie beschreiben den Zusammenhang zwischen Lösungsvielfalt der quadratischen Gleichung und der Anzahl der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion und begründen dies mithilfe des Graphen.

M10 Lernbereich 7: Einstufige Zufallsexperimente
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren den möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments als Ergebnis und bestimmen verschiedene Ereignisse dieses Zufallsexperiments.
  • betrachten geeignete reale Problemsituationen als einstufige Zufallsexperimente, berechnen und interpretieren die Wahrscheinlichkeiten.