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Mathematik 9 (vierstufige Wirtschaftsschule)

M9 Lernbereich 1: Wachstum und Zerfall
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben lineares und exponentielles Wachstum an Beispielen (z. B. Strom- bzw. Gastarife, Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall) mithilfe von Wertetabellen und stellen diese grafisch im Koordinatensystem dar, um ihr funktionales Verständnis zu erweitern.
  • übersetzen reale Wachstumssituationen in mathematische Modelle, indem sie die dazugehörigen Funktionsgleichungen erstellen (y = mx + t bzw. y = b · ax).
  • unterscheiden verschiedene Darstellungsformen von Exponentialfunktionen (Wertetabelle, Graph, Funktionsgleichung, Formulierung in eigenen Worten), setzen diese situationsbezogen ein und wechseln zwischen diesen Darstellungsformen. Sie vergleichen den Verlauf der Graphen dieser Funktionen (z. B. Monotonie und Symmetrie), um Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu beschreiben.
  • beschreiben den Einfluss der Parameter a und b bei einer Exponentialfunktion auf den Verlauf des Graphen der Funktion, indem sie ausgehend von realen Situationen (z. B. Entwicklung einer Tierpopulation) diese Parameter verändern. Sie berechnen fehlende Koordinatenwerte und nutzen dabei den dekadischen Logarithmus bzw. Wurzeln höherer Ordnung.
  • formulieren an Beispielen (z. B. pH-Wert, Richterskala) die Bedeutung des dekadischen Logarithmus für Alltagssituationen.
  • berechnen die Lösung der Gleichung xn = a (insbesondere x² = a), indem sie neben den rationalen Zahlen nun auch irrationale Zahlen verwenden. Sie rechnen mit Wurzeln und nutzen dabei geltende Rechenregeln.

M9 Lernbereich 2: Strahlensätze
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • bestimmen mit einfachen Hilfsmitteln (z. B. Försterdreieck, Peilstäbe, Daumensprung) näherungsweise Höhen und Abstände im Gelände an realen Objekten und erklären ihre Vorgehensweise.
  • formulieren die Strahlensätze und wenden sie auf verschiedene Figuren (x-Figuren und v-Figuren) an. Dabei bestimmen sie zeichnerisch und rechnerisch fehlende Streckenlängen, teilen eine beliebige Strecke in gleichlange Abschnitte (z. B. Halbieren) und erläutern die Konstruktion der Teilungspunkte.
  • interpretieren reale Problemstellungen aus ihrer Umwelt und der Technik (z. B. Größenverhältnisse bei optischen Geräten), erklären vorhandene Zusammenhänge in Hinblick auf die Problemsituation und führen mithilfe der Strahlensätze problemorientierte Berechnungen durch, z. B. Bestimmung der Entfernung unzugänglicher Objekte.
  • nutzen die Strahlensätze, um ähnliche geometrische Figuren zu definieren und differenzieren zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz.

M9 Lernbereich 3: Satz des Pythagoras
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren und begründen den Satz des Pythagoras mithilfe geometrischer Veranschaulichungen. Sie beschreiben dabei rechtwinklige Dreiecke und nutzen die Fachbegriffe Hypotenuse und Kathete.
  • führen Berechnungen von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck sowie Längenberechnungen in rechtwinkligen ebenen Figuren und in geraden Körpern mithilfe des Satzes des Pythagoras durch und interpretieren die Ergebnisse.
  • nutzen die Umkehrung des Satzes des Pythagoras bei der Konstruktion rechter Winkel auch in alltäglichen Anwendungssituationen, z. B. im Gelände.
  • führen mithilfe des Lehrsatzes des Pythagoras problemorientierte Berechnungen durch (z. B. Dimensionen rechtwinkliger Flächen bzw. Körper, Entfernungen, Höhen) und reflektieren ihre Vorgehensweise.
  • entnehmen oder ermitteln Längenmaße aus graphischen Darstellungen rechtwinkliger Flächen und Körper, stellen Zusammenhänge auf und nutzen diese, um Sachverhalte zu erklären und sachbezogene Aufgaben zu lösen (umfangreiche Aufgabenstellungen, z. B. mit vorgegebener Skizze oder Abbildung).

M9 Lernbereich 4: Trigonometrie (1)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • definieren die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion im rechtwinkligen Dreieck, berechnen mit dem Taschenrechner Funktionswerte und analysieren deren Abhängigkeit vom Winkelmaß α bzw. β. Sie nutzen die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen zur Längen- und Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck.
  • berechnen in praxisorientierten Aufgaben (z. B. Steigungs bzw. Gefälleberechnungen) mithilfe der Tangensfunktion Steigungs- bzw. Neigungswinkel und Höhenunterschiede. Sie stellen Neigungen in der Prozentschreibweise dar.

M9 Lernbereich 5: Raumgeometrie (1)
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • beschreiben und klassifizieren gerade Pyramiden nach dem Kriterium der Grundfläche (Rechteck, Quadrat und Dreieck) und erläutern die kennzeichnenden Eigenschaften der quadratischen Pyramide und des regelmäßigen Tetraeders.
  • beschreiben den geraden Kreiskegel als Rotationskörper, erklären die Entstehung der kreisförmigen Grundfläche und skizzieren Schrägbilder gerader Kreiskegel.
  • zeichnen Netze von geraden Pyramiden und Kreiskegeln, stellen Prismen- und Kreiskegelmodelle mithilfe vorgegebener Netze her und erläutern anhand der Modelle die Mantel- bzw. Oberfläche und das Volumen gerader Pyramiden und Kreiskegeln.
  • führen Flächen- und Volumenberechnungen an geraden Pyramiden und Kreiskegeln in Rechenbeispielen und in sachorientierten Aufgaben durch. Sie identifizieren und berechnen pyramiden- bzw. kegelförmige Objekte aus ihrer Lebenswelt, z. B. Höhe, Mantelfläche und Volumen eines pyramiden- bzw. kegelförmigen Daches.

M9 Lernbereich 6: Quadratische Funktionen und Gleichungen
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formen Terme mit zwei Variablen durch Ausmultiplizieren (z. B. unter Zuhilfenahme von Malkreuzen oder Rechteckmodellen) in gleichwertige Terme um. Dies nutzen sie beim Aufstellen und Vereinfachen von quadratischen Funktionstermen in inner- und außermathematischen Aufgabenstellungen.
  • stellen mithilfe von Wertetabellen quadratische Funktionen der Form y=ax²+bx+c auch mit geeigneten Computerprogrammen (Tabellenkalkulation, dynamische Geometriesoftware) graphisch dar, ordnen gegebenen Funktionstermen den richtigen Graphen zu und umgekehrt. Sie verknüpfen die Funktionsgraphen mit realen Sachverhalten, z. B. Wurfparabel, Brückenbögen, Berechnung von Bremswegen.
  • analysieren und charakterisieren die Lage und Form der Parabeln in Abhängigkeit der Parameter bei gegebener Scheitel- oder allgemeiner Form der Funktionsgleichung. Sie nutzen die Deutung der Parameter in Anwendungssituationen.
  • wandeln die allgemeine Funktionsgleichung in die Scheitelform (mithilfe der Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten) um und umgekehrt. Bei der Lösung alltagsnaher Probleme (z. B. Vergleich von Flugbahnen, Verlauf von Brückenbögen, Untersuchung von Gewinnfunktionen) wählen sie eine geeignete Form der Funktionsgleichung aus. Sie nutzen die Berechnung des Scheitelpunktes zum Zeichnen von Parabeln ohne Wertetabelle und zur Lösung einfacher Extremwertaufgaben (Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten).
  • lösen rein quadratische Gleichungen mithilfe des Wurzelziehens und gemischtquadratische Gleichungen mithilfe der Lösungsformel. Sie nutzen dies zur Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen in Anwendungssituationen. Sie überprüfen ihre Ergebnisse grafisch, z. B. auch unter Verwendung geeigneter Software.
  • treffen Aussagen über die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen und begründen diese mithilfe des Diskriminantenkriteriums. Sie beschreiben den Zusammenhang zwischen Lösungsvielfalt der quadratischen Gleichung und der Anzahl der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion und begründen dies mithilfe des Graphen.

M9 Lernbereich 7: Einstufige Zufallsexperimente
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Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • formulieren den möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments als Ergebnis und bestimmen verschiedene Ereignisse dieses Zufallsexperiments.
  • betrachten geeignete reale Problemsituationen als einstufige Zufallsexperimente, berechnen und interpretieren die Wahrscheinlichkeiten.