Lehrplan PLUS

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Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München

Ergänzende Informationen zum Lernbereich „Bruchteile und Bruchzahlen“

Gymnasium: Mathematik 6

Anteil und Bruchteil

Für die Begriffe Anteil und Bruchteil existiert keine allgemeingültige Definition; die beiden Begriffe werden auch alltagssprachlich nicht trennscharf verwendet.Im LehrplanPLUS werden die Begriffe Anteil und Bruchteil wie folgt verwendet: von 6 kg sind 4 kg; dabei ist der Anteil und 4 kg der Bruchteil.
Alltagskompetenz

Prozentrechnung im LehrplanPLUS (Mathematik Gymnasium)

Jahrgangsstufe 5 In Jgst. 5 lernen die Schülerinnen und Schüler zwei wichtige Verfahren kennen und einzusetzen, die auch die Prozentrechnung in den folgenden Jahrgangsstufen vorbereiten: das Lösen einfacher Gleichungen der Form a ⋅ x = b, insbesondere mithilfe der Umkehraufgabe, sowie das strukturierte Anwenden der Schlussrechnung. Jahrgangsstufe 6 - Lernbereich M6 1.1 In Jgst. 6 begegnen den Schülerinnen und Schülern Prozentangaben zunächst im Rahmen des ersten Umgangs mit Bruchteilen und Bruchzahlen als eine weitere Art der Darstellung von Brüchen; sie erkennen dabei, dass Prozentangaben zur Angabe von Anteilen gut geeignet sind und dazu auch im Alltag häufig verwendet werden. In diesem Zusammenhang bearbeiten die Schülerinnen und Schüler bereits einfache Aufgabenstellungen, wie sie im Rahmen der Bestimmung von Anteilen, Bruchteilen und dem jeweils zugehörigen Ganzen auftreten. Beispiele 32 von 80 neuen Tischtennisbällen weisen einen Materialfehler auf. Berechne den Anteil der defekten Bälle und gib diesen in Prozent an. Am Tag des Brauchtums kommen 75 % der 500 Schülerinnen und Schüler eines Gymnasiums in Tracht in die Schule. An der Nachbarschule kommt genau die Hälfte der 800 Schülerinnen und Schüler in Tracht. Untersuche, an welcher Schule die Anzahl der Tracht tragenden Schülerinnen und Schüler größer ist. Gabi kauft im Schlussverkauf eine Jacke, deren Preis um 25 % reduziert wurde. Sie spart damit 15 €. Berechne den ursprünglichen Preis. Jahrgangsstufe 6 - Lernbereich M6 3 Zielsetzung im Lernbereich M6 3 ist es, dass die Schülerinnen und Schüler grundlegende Aufgaben der Prozentrechnung (Berechnung des Prozentsatzes, des Prozentwerts bzw. des Grundwerts) auch in Sachzusammenhängen zielgerichtet lösen können. Die Bearbeitung komplexerer Aufgabenstellungen soll dagegen erst in Jgst. 7 erfolgen.Das Niveau der Aufgaben sollte daher das des folgenden Beispiels i. d. R. nicht überschreiten: Marias MountainbikeMaria möchte sich von ihren Ersparnissen ein Mountainbike zum Preis von 640 € kaufen. a)  Wenn Maria das Fahrrad bar bezahlt, bekommt sie 2 % Skonto, d. h. sie erhält einen Preisnachlass von 2 %. Berechne den Preis, den Maria in diesem Fall für das Fahrrad bezahlen müsste. Eine Woche später wird der Preis des Fahrrads von 640 € auf 480 € reduziert. b)  Berechne, um wie viel Prozent der Preis gesenkt wurde. c)  Das Geschäft bietet auch einen sogenannten „Finanzkauf“ an. Dabei kann das Fahrrad in zwölf gleichen Monatsraten abbezahlt werden. Das Geschäft erhöht in diesem Fall den Preis des Fahrrads um 5 % gegenüber den angegebenen 480 €. Berechne, wie hoch demnach eine Monatsrate ist.Weißt du, warum Geschäfte bei solchen Finanzkäufen den Preis zumeist etwas erhöhen? Nenne mögliche Gründe. d)  Die Eltern ermahnen Maria: „Wenn du für das Rad 480 € bezahlst, dann hast du 80 % deiner Ersparnisse ausgegeben.“ Berechne, wie viel Geld Maria angespart hat. Folgende Aufgaben sind entsprechend ihrem Anspruchsniveau dagegen eher der Jgst. 7 zuzuordnen: Der Preis eines Artikels wurde zunächst um 15 % erhöht, anschließend um 20 % gesenkt und beläuft sich nun auf 72,68 €. Berechne den ursprünglichen Preis. Eine Hose kostet 25 % mehr als ein Hemd. Berechne, um wie viel Prozent das Hemd weniger als die Hose kostet. Die Schülerinnen und Schüler sollen in Jgst. 6 zur Lösung von Prozentaufgaben beide Verfahren (Arbeiten mit der Grundgleichung der Prozentrechnung sowie Schlussrechnung mittels Dreisatz) anwenden können, allerdings soll es ihnen bei einer konkreten Aufgabe i. d. R. freigestellt sein, welchen Weg sie wählen; Ziel sollte es grundsätzlich sein, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen in der Art aufbauen, dass sie Lösungsstrategien bewusst und flexibel auswählen und reflektiert anwenden können. Dazu benötigen sie insbesondere Anlässe, anhand von Beispielen strukturell unterschiedliche Lösungswege vergleichen und bewerten zu können. In Bezug auf das Arbeiten mit der Grundgleichung ist nach wie vor nicht daran gedacht, einen formalen Lösungsweg unter Verwendung von Äquivalenzumformungen zu wählen (vgl. Jgst. 7), sondern die Lösung im konkreten Fall, wie in der Grundschule angebahnt, durch Bilden der jeweiligen Umkehraufgabe (oder in Einzelfällen alternativ z. B. durch systematisches Probieren) zu finden. Insbesondere bei der Schlussrechnung soll die in Jgst. 5 etablierte Art der strukturierten Darstellung der Rechenschritte konsequent weitergeführt werden (vgl. Lernbereich M5 4.1). Exemplarische Darstellung der beiden Lösungsverfahren anhand des obigen Aufgabenbeispiel Marias Mountainbike, Aufgabe 4: Arbeiten mit der Grundgleichung der ProzentrechnungProzentwert: 480 €Prozentsatz: 80 %Grundwert: xAnsatz: 80 % ⋅ x = 480 €x = 480 € : 80 %x = 480 € ⋅ x = 600 €Antwort: Maria hat insgesamt 600 € angespart. Schlussrechnung mittels Dreisatz80 %   ≙ 480 €20 %   ≙ 120 €100 % ≙ 600 €Antwort: Maria hat insgesamt 600 € angespart. Den Schülerinnen und Schülern begegnen in ihrem Alltag Prozentangaben in vielfältiger Art und Weise, insbesondere in der Zeitung oder anderen Medien. Nach der Erarbeitung, ersten Anwendung und Reflexion der grundlegenden Verfahren, die im Zusammenhang mit der Lösung von Prozentaufgaben stehen, erfolgt daher im nächsten Schritt innerhalb des Lernbereichs M6 3 eine Vertiefung durch Anwendung der Rechenverfahren im Zusammenhang mit Diagrammen und Texten. Die Aufgaben bleiben dabei weiterhin auf relativ einfachem Niveau, auch hinsichtlich des Rechenaufwands. Eine Vertiefung erfolgt in Jgst. 7, insbesondere durch die Bearbeitung komplexerer Fragestellungen. Jahrgangsstufe 7 In Jgst. 7 steht zur Lösung von Prozentaufgaben auch die Technik des formalen Lösens von Gleichungen zur Verfügung. Die im Vergleich zur Jgst. 6 im Sinne einer Progression gewachsene Komplexität illustrieren die folgenden Aufgaben. Beispiele Eine Strecke wird zunächst um 20 % verlängert und anschließend um 20 % verkürzt. Ist eine der folgenden Aussagen wahr? Begründe deine Antwort.Aussage 1: Die Strecke ist nun um 4 % länger als die ursprüngliche Strecke.Aussage 2: Die Strecke ist nun wieder genauso lang wie die ursprüngliche Strecke.Aussage 3: Die Strecke ist nun um 4 % kürzer als die ursprüngliche Strecke. Herr Huber legt Geld auf der Bank an. Es wird im ersten Jahr mit 1,5 % p. a. verzinst. Da der Zinssatz anschließend auf 2 % p. a. steigt, hebt Herr Huber kein Geld ab und legt es samt den erhaltenen Zinsen noch für ein weiteres Jahr an. Am Ende des zweiten Jahres belaufen sich seine Spareinlagen samt Zinsen auf 15011,85 €. Berechne, wie viel Geld Herr Huber ursprünglich angelegt hat. Herr Maier musste das Dach seiner Garage sanieren lassen. Der Nettopreis beträgt 2800,- €; hinzu kommen 19 % Mehrwertsteuer. Wenn die Rechnung innerhalb von acht Tagen beglichen wird, werden auf den Bruttobetrag 2 % Skonto gewährt. Herr Maier schlägt auf den Nettobetrag 17 % auf und überweist das Geld sofort. Hat Herr Maier vernünftig gehandelt? Begründe. Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Manfred kauft ein Rennrad, das jetzt nur noch 460,- € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Berechne, wie viel das Rad ursprünglich gekostet hat und wie viel Prozent der Preisnachlass in Wirklichkeit beträgt.

Aufbau von Grundvorstellungen zum Bruchbegriff (1/2)

Im Lernbereich M6 1.1 steht zunächst die Grundvorstellung „Bruch als Teil eines Ganzen“ im Vordergrund. Über das Bestimmen von Teilen des Abstands zwischen 0 und 1 an der Zahlengeraden, also der Einheitslänge als Ganzem, kann der Übergang zur Vorstellung „Bruch als Zahl“ erfolgen. Weitere Grundvorstellungen, z. B. „Bruch als Quotient“ oder „Bruch als Teil mehrerer Ganzer“, werden i. d. R. erst in späteren Phasen ausgebildet, insbesondere beim Umwandeln in Dezimalbrüche (Lernbereich M6 1.2).