Lehrplan PLUS

Jahrgangsstufe 5 In Jgst. 5 lernen die Schülerinnen und Schüler zwei wichtige Verfahren kennen und einzusetzen, die auch die Prozentrechnung in den folgenden Jahrgangsstufen vorbereiten: das Lösen einfacher Gleichungen der Form a ⋅ x = b, insbesondere mithilfe der Umkehraufgabe, sowie das strukturierte Anwenden der Schlussrechnung. Jahrgangsstufe 6 - Lernbereich M6 1.1 In Jgst. 6 begegnen den Schülerinnen und Schülern Prozentangaben zunächst im Rahmen des ersten Umgangs mit Bruchteilen und Bruchzahlen als eine weitere Art der Darstellung von Brüchen; sie erkennen dabei, dass Prozentangaben zur Angabe von Anteilen gut geeignet sind und dazu auch im Alltag häufig verwendet werden. In diesem Zusammenhang bearbeiten die Schülerinnen und Schüler bereits einfache Aufgabenstellungen, wie sie im Rahmen der Bestimmung von Anteilen, Bruchteilen und dem jeweils zugehörigen Ganzen auftreten. Beispiele 32 von 80 neuen Tischtennisbällen weisen einen Materialfehler auf. Berechne den Anteil der defekten Bälle und gib diesen in Prozent an. Am Tag des Brauchtums kommen 75 % der 500 Schülerinnen und Schüler eines Gymnasiums in Tracht in die Schule. An der Nachbarschule kommt genau die Hälfte der 800 Schülerinnen und Schüler in Tracht. Untersuche, an welcher Schule die Anzahl der Tracht tragenden Schülerinnen und Schüler größer ist. Gabi kauft im Schlussverkauf eine Jacke, deren Preis um 25 % reduziert wurde. Sie spart damit 15 €. Berechne den ursprünglichen Preis. Jahrgangsstufe 6 - Lernbereich M6 3 Zielsetzung im Lernbereich M6 3 ist es, dass die Schülerinnen und Schüler grundlegende Aufgaben der Prozentrechnung (Berechnung des Prozentsatzes, des Prozentwerts bzw. des Grundwerts) auch in Sachzusammenhängen zielgerichtet lösen können. Die Bearbeitung komplexerer Aufgabenstellungen soll dagegen erst in Jgst. 7 erfolgen.Das Niveau der Aufgaben sollte daher das des folgenden Beispiels i. d. R. nicht überschreiten: Marias MountainbikeMaria möchte sich von ihren Ersparnissen ein Mountainbike zum Preis von 640 € kaufen. a)  Wenn Maria das Fahrrad bar bezahlt, bekommt sie 2 % Skonto, d. h. sie erhält einen Preisnachlass von 2 %. Berechne den Preis, den Maria in diesem Fall für das Fahrrad bezahlen müsste. Eine Woche später wird der Preis des Fahrrads von 640 € auf 480 € reduziert. b)  Berechne, um wie viel Prozent der Preis gesenkt wurde. c)  Das Geschäft bietet auch einen sogenannten „Finanzkauf“ an. Dabei kann das Fahrrad in zwölf gleichen Monatsraten abbezahlt werden. Das Geschäft erhöht in diesem Fall den Preis des Fahrrads um 5 % gegenüber den angegebenen 480 €. Berechne, wie hoch demnach eine Monatsrate ist.Weißt du, warum Geschäfte bei solchen Finanzkäufen den Preis zumeist etwas erhöhen? Nenne mögliche Gründe. d)  Die Eltern ermahnen Maria: „Wenn du für das Rad 480 € bezahlst, dann hast du 80 % deiner Ersparnisse ausgegeben.“ Berechne, wie viel Geld Maria angespart hat. Folgende Aufgaben sind entsprechend ihrem Anspruchsniveau dagegen eher der Jgst. 7 zuzuordnen: Der Preis eines Artikels wurde zunächst um 15 % erhöht, anschließend um 20 % gesenkt und beläuft sich nun auf 72,68 €. Berechne den ursprünglichen Preis. Eine Hose kostet 25 % mehr als ein Hemd. Berechne, um wie viel Prozent das Hemd weniger als die Hose kostet. Die Schülerinnen und Schüler sollen in Jgst. 6 zur Lösung von Prozentaufgaben beide Verfahren (Arbeiten mit der Grundgleichung der Prozentrechnung sowie Schlussrechnung mittels Dreisatz) anwenden können, allerdings soll es ihnen bei einer konkreten Aufgabe i. d. R. freigestellt sein, welchen Weg sie wählen; Ziel sollte es grundsätzlich sein, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen in der Art aufbauen, dass sie Lösungsstrategien bewusst und flexibel auswählen und reflektiert anwenden können. Dazu benötigen sie insbesondere Anlässe, anhand von Beispielen strukturell unterschiedliche Lösungswege vergleichen und bewerten zu können. In Bezug auf das Arbeiten mit der Grundgleichung ist nach wie vor nicht daran gedacht, einen formalen Lösungsweg unter Verwendung von Äquivalenzumformungen zu wählen (vgl. Jgst. 7), sondern die Lösung im konkreten Fall, wie in der Grundschule angebahnt, durch Bilden der jeweiligen Umkehraufgabe (oder in Einzelfällen alternativ z. B. durch systematisches Probieren) zu finden. Insbesondere bei der Schlussrechnung soll die in Jgst. 5 etablierte Art der strukturierten Darstellung der Rechenschritte konsequent weitergeführt werden (vgl. Lernbereich M5 4.1). Exemplarische Darstellung der beiden Lösungsverfahren anhand des obigen Aufgabenbeispiel Marias Mountainbike, Aufgabe 4: Arbeiten mit der Grundgleichung der ProzentrechnungProzentwert: 480 €Prozentsatz: 80 %Grundwert: xAnsatz: 80 % ⋅ x = 480 €x = 480 € : 80 %x = 480 € ⋅ x = 600 €Antwort: Maria hat insgesamt 600 € angespart. Schlussrechnung mittels Dreisatz80 %   ≙ 480 €20 %   ≙ 120 €100 % ≙ 600 €Antwort: Maria hat insgesamt 600 € angespart. Den Schülerinnen und Schülern begegnen in ihrem Alltag Prozentangaben in vielfältiger Art und Weise, insbesondere in der Zeitung oder anderen Medien. Nach der Erarbeitung, ersten Anwendung und Reflexion der grundlegenden Verfahren, die im Zusammenhang mit der Lösung von Prozentaufgaben stehen, erfolgt daher im nächsten Schritt innerhalb des Lernbereichs M6 3 eine Vertiefung durch Anwendung der Rechenverfahren im Zusammenhang mit Diagrammen und Texten. Die Aufgaben bleiben dabei weiterhin auf relativ einfachem Niveau, auch hinsichtlich des Rechenaufwands. Eine Vertiefung erfolgt in Jgst. 7, insbesondere durch die Bearbeitung komplexerer Fragestellungen. Jahrgangsstufe 7 In Jgst. 7 steht zur Lösung von Prozentaufgaben auch die Technik des formalen Lösens von Gleichungen zur Verfügung. Die im Vergleich zur Jgst. 6 im Sinne einer Progression gewachsene Komplexität illustrieren die folgenden Aufgaben. Beispiele Eine Strecke wird zunächst um 20 % verlängert und anschließend um 20 % verkürzt. Ist eine der folgenden Aussagen wahr? Begründe deine Antwort.Aussage 1: Die Strecke ist nun um 4 % länger als die ursprüngliche Strecke.Aussage 2: Die Strecke ist nun wieder genauso lang wie die ursprüngliche Strecke.Aussage 3: Die Strecke ist nun um 4 % kürzer als die ursprüngliche Strecke. Herr Huber legt Geld auf der Bank an. Es wird im ersten Jahr mit 1,5 % p. a. verzinst. Da der Zinssatz anschließend auf 2 % p. a. steigt, hebt Herr Huber kein Geld ab und legt es samt den erhaltenen Zinsen noch für ein weiteres Jahr an. Am Ende des zweiten Jahres belaufen sich seine Spareinlagen samt Zinsen auf 15011,85 €. Berechne, wie viel Geld Herr Huber ursprünglich angelegt hat. Herr Maier musste das Dach seiner Garage sanieren lassen. Der Nettopreis beträgt 2800,- €; hinzu kommen 19 % Mehrwertsteuer. Wenn die Rechnung innerhalb von acht Tagen beglichen wird, werden auf den Bruttobetrag 2 % Skonto gewährt. Herr Maier schlägt auf den Nettobetrag 17 % auf und überweist das Geld sofort. Hat Herr Maier vernünftig gehandelt? Begründe. Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Manfred kauft ein Rennrad, das jetzt nur noch 460,- € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Berechne, wie viel das Rad ursprünglich gekostet hat und wie viel Prozent der Preisnachlass in Wirklichkeit beträgt.

Es bietet sich an, Daten aus dem Interessens- und Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler zu wählen oder selbst zu erheben. Im Sinne eines Beitrags zur politischen Bildung kommen hierfür auch altersgemäße Themen von gesamtgesellschaftlicher Relevanz infrage (z. B.: Höhe des eigenen Plastik-Konsums; Bereitschaft, sich während der Freizeit in der Schule ehrenamtlich zu engagieren) sowie Fragen der Meinungsbildung und Mitbestimmung (z. B.: Schulentwicklungsthemen, von denen die Schülerinnen und Schüler betroffen sind). Ob eine eigene Erhebung von Daten sinnvoll ist, muss vor dem Hintergrund der vorhandenen Rahmenbedingungen entschieden werden (u. a.: verfügbare Zeit, Leistungsstärke der Klasse). Grundsätzlich bedarf jede Erhebung einschließlich Umfragen und wissenschaftlichen Untersuchungen an Schulen einer Genehmigung nach § 24 Abs. 1 BaySchO durch die zuständigen Schulaufsichtsbehörden. Die Genehmigung kann erteilt werden, wenn an der Erhebung ein erhebliches pädagogisch-wissenschaftliches Interesse anzuerkennen ist und sich die Belastung der Schulen in zumutbarem Rahmen hält. Sofern die Erhebung schulintern ist, kann die Genehmigung durch die Schulleitung erfolgen. Falls keine eigene Datenerhebung erfolgt, ist z. B. das Statistische Bundesamt eine seriöse Quelle für interessante Daten (https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/ZahlenFakten.html). Relevante Daten über Jugendliche in Deutschland liefert bspw. auch die Studie des Robert-Koch-Instituts zur Gesundheit von Kindern und Jugendlichen in Deutschland (KiGGS, https://www.kiggs-studie.de/ergebnisse.html). Bei der Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms zur Erstellung von Diagrammen sollten in Jgst. 6 stets Tabellen Grundlage sein, die bereits die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der Ausprägungen eines Merkmals enthalten (aggregierte Daten). An die Verwendung von Tabellen, die Rohdaten enthalten (also z. B. die Antworten von einzelnen Personen) und die Berechnung von absoluten und relativen Häufigkeiten mithilfe von Formeln ist im Zusammenhang mit dem Einsatz von Tabellenkalkulationsprogrammen in Jgst. 6 nicht gedacht.

Die Schülerinnen und Schüler sollen eine Sensibilität dafür entwickeln, Darstellungen in Diagrammen stets aufmerksam und kritisch zu begegnen. Ihnen soll bewusst sein, dass mit der gewählten Art der Darstellung i. d. R. ein bestimmter Zweck verfolgt wird. Wenn durch ein Diagramm (bewusst) ein falscher Eindruck erweckt wird, sollen sie dies erkennen und altersangemessen diskutieren können. Insbesondere die folgenden drei Aspekte bieten die Möglichkeit, mit Diagrammen einen falschen Eindruck zu erwecken: Beginn der Achsenbeschriftung Veranschaulichung von Zahlen durch zweidimensionale Piktogramme oder dreidimensionale Objekte Bewusste Auswahl einzelner Daten / Einteilung der Zeitachse   Anhand des folgenden Datensatzes „Anzahl der Studierenden in Deutschland – 1973 bis 2017“ werden einige Möglichkeiten näher beschrieben, wie mit Diagrammen in Bezug auf die drei genannten Aspekte ein falscher Eindruck erweckt werden kann. 1. Beginn der Achsenbeschriftung Beginnt die Beschriftung der y-Achse nicht bei null, können vorhandene Unterschiede überhöht werden: Durch den Beginn der y-Achsenbeschriftung bei 1,5 wird der Eindruck erweckt, dass sich die Anzahl der Studierenden seit 1990 etwa um das Vier- bis Fünffache erhöht hat, obwohl es in Wirklichkeit nur etwa 60 % sind. Mitunter wird bei einer solchen Darstellung die Beschriftung der y-Achse komplett weggelassen (da sie durch die Beschriftung der einzelnen Säulen mit Daten sogar verzichtbar ist). Dann ist es noch schwieriger, sich dem falschen Eindruck zu entziehen:        2. Veranschaulichung von Zahlen durch zweidimensionale Piktogramme oder dreidimensionale Objekte Ein ähnlicher Effekt wie der gerade Beschriebene ergibt sich, wenn man bei der Veranschaulichung mithilfe von Piktogrammen die prozentuale Änderung von Daten durch die prozentual gleiche Änderung von Breite und Höhe wiedergibt. Hier ist z. B. die rechte Figur entsprechend dem Verhältnis 2,85 : 0,73 knapp viermal so hoch wie die linke, das Gleiche gilt für die Breiten der Figuren. Die Figurenfläche wächst dadurch auf etwa das Fünfzehnfache an. Die Figuren vermitteln demnach den Eindruck, dass die Anzahl der Studierenden zwischen 1973 und 2017 auf deutlich mehr als das Vierfache gestiegen sind. Werden anstatt zweidimensionaler Piktogramme dreidimensionale Objekte verwendet, kann sich der eben beschriebene Effekt noch verstärken: 3. Bewusste Auswahl einzelner Daten / Einteilung der Zeitachse Durch eine bewusste Auswahl einzelner Daten, mit der hier eine unregelmäßige („nicht lineare“) Einteilung der Zeitachse einhergeht, kann in diesem Beispiel etwa suggeriert werden, dass der Anstieg der Anzahl der Studierenden in letzter Zeit stärker geworden ist: _____ Quellen- und Literaturangaben: Studierendenzahlen: Statistisches Bundesamt, https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/Indikatoren/LangeReihen/Bildung/lrbil01.html (Zugriff: 31.01.2018) Clipart „computersymbol-bildung-studium-2429310“ von mohamed_hassan, lizenziert unter CC0 über https://pixabay.com (Zugriff am 31.01.2018) Clipart „buch-bücher-bibliothek-bücher-2022464“ von OpenClipart-Vectors, lizenziert unter CC0 über https://pixabay.com (Zugriff am 31.01.2018)

In Jgst. 6 lernen die Schülerinnen und Schüler ein Tabellenkalkulationsprogramm kennen. Da sie sich mit Termen mit Variablen explizit jedoch erst in Jgst. 7 beschäftigen, sollte sich die Nutzung eines Tabellenkalkulationsprogramms in Jgst. 6 im Zusammenhang mit der Durchführung von Berechnungen auf wenige Funktionen¹ beschränken. Am Beispiel der Berechnung des Notendurchschnitts² bei einer Leistungserhebung wird im Folgenden dargestellt, an welche Art der Verwendung gedacht ist: Liegen Rohdaten vor (im Beispiel: die Einzelnoten), kann der Notendurchschnitt z. B. durch Verwendung von „MITTELWERT(...)“ unmittelbar berechnet werden. Die Angabe „(B2:B24)“ verstehen die Schülerinnen und Schüler dabei als Bezeichnung für den Bereich, in dem die Zahlen stehen, von denen der Mittelwert bestimmt werden soll. Auch die Verwendung von „SUMME(...)“ und „ANZAHL(...)“ ist denkbar – die Komplexität des dabei entstehenden Terms ist sehr gering, der Term bleibt für die Schülerinnen und Schüler leicht überschaubar. Da sich die Schülerinnen und Schüler erst in Jgst. 7 eingehend mit dem Variablenbegriff beschäftigen, bietet es sich an, die Mittelwertbestimmung aus aggregierten Daten – im Beispiel sind dies die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Noten – erst dort aufzugreifen. Bei der Bestimmung des arithmetischen Mittels ohne Tabellenkalkulationsprogramm können aggregierte Daten dagegen auch in Jgst. 6 problemlos verwendet werden. Die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms als Taschenrechner (Eingabe konkreter Zahlenterme ohne Variablen) sollte nicht im Vordergrund stehen und eher vermieden werden, da dadurch eine falsche Sichtweise auf die Bedeutung dieser Art von Software entstehen könnte – vgl. hierzu auch Jgst. 7, Lernbereich M7 1.1, 3. Kompetenzerwartung, bei der ein reflektierter Umgang mit Tabellenkalkulationsprogrammen im Zusammenhang mit der Berechnung von Termwerten mit im Vordergrund steht. _____¹ Der  funktionale Aspekt vieler angebotener „Formeln“ (Funktionen), wie z. B. MITTELWERT(...), und erstellter Terme innerhalb eines Tabellenkalkulationsprogramms kann von den Schülerinnen und Schülern bereits in den Jgst. 6 und 7 intuitiv erfasst werden, die Beschäftigung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm dient in diesen Jahrgangsstufen also auch der Funktionspropädeutik. Explizit bewusst wird den Schülerinnen und Schülern diese fundamentale Sicht auf ein Tabellenkalkulationsprogramm jedoch erst beginnend mit der Jgst. 8 im Zusammenhang mit der Begegnung mit dem Funktionsbegriff. ² Die Berechnung der Durchschnittsnote ist den Schülerinnen und Schülern vertraut. Aus diesem Grund wird der Notendurchschnitt als Beispiel für das arithmetische Mittel herangezogen, obwohl es sich bei Noten um kein kardinalskaliertes Merkmal handelt, was eine Addition von Noten nicht ermöglicht. Trotzdem ist die Durchschnittsnote, insbesondere bei Vergleichen, ein sinnvoll interpretierbarer Wert.