Lehrplan PLUS

Bewusst wird in dieser Kompetenzerwartung von der Menge der natürlichen Zahlen gesprochen. Die Schülerinnen und Schüler sollen bereits ab Jgst. 5 mit dem Mengenbegriff sowie der Bedeutung der Zeichen „∈“ und „∉“ vertraut sein; sie verstehen dabei eine Menge als Zusammenfassung von Elementen (z. B.: {1; 2; 3; …}, {2; 4; 6; 8; …}). Es ist an dieser Stelle nicht daran gedacht, dass sich die Schülerinnen und Schüler mit abstrakten Begriffen wie leere Menge, Schnitt-, Vereinigungs- oder Teilmenge befassen (vgl. Jgst. 8 bzw. Jgst. 9).

Bei der Betrachtung des Zehnersystems als Stellenwertsystem stehen Grundprinzipien (Stellenwertprinzip, Bündelungsprinzip) im Vordergrund. Im Rahmen der möglichen und sinnvollen Abgrenzung zu einem anderen Zahlensystem ist nicht daran gedacht, dieses andere System im Detail zu betrachten bzw. in diesem System zu rechnen oder in größerem Umfang Darstellungswechsel zwischen den Systemen durchzuführen. Als besonders geeignet zur Abgrenzung kann das römische Zahlensystem angesehen werden, auch vor dem Hintergrund seiner kulturhistorischen Bedeutung (Jahreszahlen).

Im Lehrplan der Grundschule ist das Runden natürlicher Zahlen nicht explizit verortet; demnach kann nicht davon ausgegangen werden, dass dieses den Schülerinnen und Schülern vertraut ist. Daher müssen sie sich zunächst grundlegend mit dieser Thematik auseinandersetzen können und dabei auch Standardaufgaben bearbeiten. Unter dem Aspekt der Vertiefung sollten weitere Aufgaben, die über dieses Niveau hinausgehen, von den Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden. Beispiele: Gib die größte Zahl an, die auf Hunderter gerundet 4700 ergibt. Gib die kleinste Zahl an, die auf Tausender gerundet 14 000 ergibt. Darüber hinaus sollten sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Runden in Sachzusammenhängen auseinandersetzen; sie sollen erkennen, dass es insbesondere hier oft nicht sinnvoll ist, exakte Ergebnisse anzugeben oder miteinander zu vergleichen. Beispiele: Im Januar 2015 berichtete eine Zeitung, dass am 31.12.2014 in München 1 490 000 Personen lebten, das statistische Amt der Landeshautstadt München vermeldete „Aktueller Bevölkerungsstand zum 31. Dezember 2014: 1 490 681 Personen“ und Marias Vater behauptet, dass etwa eineinhalb Millionen Menschen in München leben. Nimm Stellung zu diesen Zahlenangaben. In einem Sportbericht heißt es: „Das Spiel des 1. FCN gegen Bayern München lockte 45 826 Zuschauer. Beim letzten Derby waren es noch 3000 Besucher weniger.“ Beschreibe, was in diesem Bericht nicht sinnvoll ist. Welche dieser Werte sind vermutlich gerundet? Gib für diese Werte jeweils einen möglichst großen Bereich an, in dem der genaue Zahlenwert liegt. Die Demonstration hatte 25 000 Teilnehmer. Ein Kilometer hat 1000 Meter. Mein Fahrradschloss hat die Nummer 1234. Ein Radfahrer legt in der Stunde 15 Kilometer zurück. Paul ist der 100 000-ste Einwohner der Stadt. Die Problematik, die bei mehrfachem Runden bzw. durch ein Weiterrechnen mit gerundeten Ergebnissen auftreten kann, sollte den Schülerinnen und Schülern in der Art bewusst sein, dass sie die Problematik beschreiben und mit ihr reflektiert umgehen können. Beispiele: Lisa und Maya sollen die Ergebnisse ihrer Rechnungen auf Hunderter runden. Lisa geht folgendermaßen vor: 544 + 346 ≈ 500 + 300 = 800. Maya rechnet: 544 + 346 = 890 ≈ 900. Beurteile die unterschiedlichen Ergebnisse. Sven behauptet: „Es ist egal, ob man gleich auf Tausender rundet oder ob man zuerst auf Zehner, dann auf Hunderter und dann auf Tausender rundet.“ Nimm Stellung zu dieser Behauptung.

Das Widerlegen einer allgemeinen Aussage mithilfe eines Gegenbeispiels ist eine grundlegende Beweistechnik, die bereits ab der Jgst. 5 immer wieder zum Einsatz kommen kann. Aufgrund ihrer großen Bedeutung sollte sie im weiteren Verlauf der Jgst. sowie in den folgenden Jgst. immer wieder aufgegriffen werden. Der Nachweis des Wahrheitsgehalts einer Aussage ist dagegen von den Schülerinnen und Schülern anfangs nur in wenigen Fällen zu leisten (z. B. Aussage 1). Sukzessive soll den Schülerinnen und Schülern bewusst werden, dass durch Angabe von einem oder mehreren Beispielen nicht begründet werden kann, dass eine allgemeine Aussage wahr ist (z. B. Aussage 3). Die folgenden Beispiele bieten auch Anlass zur Diskussion darüber, dass das Widerlegen einer falschen Aussage nicht immer über ein Gegenbeispiel erfolgen kann (z. B. Aussage 4). Beispiel: Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Entscheide jeweils und gib zu jeder falschen Aussage eine Begründung an. Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element. Die Vielfachen einer geraden Zahl sind stets gerade. Die Vielfachen einer ungeraden Zahl sind stets ungerade. Auf der Zahlengeraden sind die Zahlen 100 und 300 genau 10 cm voneinander entfernt. Also entsprechen 20 Längeneinheiten genau 2 cm. 17 400 ist die größte natürliche Zahl, die gerundet 17 000 ergibt. Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets positiv. Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.