Lehrplan PLUS

Bereits in der Grundschule verwenden die Schülerinnen und Schüler Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Zeichnen von Strecken und Flächenformen. Sie kennen somit auch bereits die Grundform des Kreises. Die grundlegende Eigenschaft der Kreislinie als Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt einen bestimmten Abstand hat, wird in der Grundschule jedoch nicht thematisiert. Abkürzende Schreibweisen: Gerade durch A und B: AB Strecke von A nach B: Länge der Strecke von A nach B: || Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r: k(M; r) In diesem Zusammenhang können die Schülerinnen und Schülern ihre Kenntnisse und Fertigkeiten hinsichtlich der Bedeutung und der Verwendung der Zeichen „∈“ und „∉“ vertiefen. Beispiel:Der abgebildete Kreis hat den Mittelpunkt M und einen Radius von 2 cm. Gib mithilfe der Kurzschreibweise für jeden der Punkte A, C und M jeweils an, ob er auf dem Kreis liegt und ob er auf der Geraden liegt. Lösung: A ∈ k(M; 2 cm) A ∈ AB C ∉ k(M; 2 cm) C ∈ AB M ∉ k(M; 2 cm) M ∉ AB Es ist nicht daran gedacht, dass sich die Schülerinnen und Schüler an dieser Stelle mit abstrakten Begriffe wie leere Menge, Schnitt-, Vereinigungs- oder Teilmenge befassen (vgl. Jgst. 8).

Die Kopfgeometrie zielt auf die Übung des Gedächtnisses sowie die Entwicklung von Konzentration und geistiger Flexibilität; sie fördert darüber hinaus aber auch spezifische mathematische Kompetenzen. Kopfgeometrische Aufgaben verlangen von den Lernenden, Eigenschaften geometrischer Objekte klar wahrzunehmen, sich geometrische Objekte und Sachverhalte vorzustellen, d. h. mentale Bilder zu erstellen, und mit diesen dann auch – im Kopf – zu arbeiten. Ein besonderes Potenzial bieten Aufgaben, bei denen die Schülerinnen und Schüler Lagebeziehungen oder Beziehungen zwischen geometrischen Objekten analysieren müssen bzw. bei denen Veränderungen an der Position und Gestalt von Objekten vorzunehmen sind. So werden zum einen grundlegende mathematische Begriffe vertieft und flexibel angewendet, zum anderen geometrische Grundvorstellungen ausgebaut und das räumliche Vorstellungsvermögen weiterentwickelt.1 Kopfgeometrische Aufgaben lassen sich – je nach Sachverhalt und Komplexität des Kontextes – auf unterschiedliche Arten präsentieren: rein mündliche Präsentation der Aufgabenstellung visuelle Präsentation der Aufgabenstellung ohne Graphik visuelle Präsentation der Aufgabenstellung mit Graphik Unabhängig von der Art der Präsentation sind bei der Bearbeitung keine Hilfsmittel erlaubt. Beispiele mit Bezug zur verknüpften Kompetenzerwartung im Lernbereich M5 2: Rein mündliche Präsentation Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, wird durch eine Gerade zerschnitten. Welche Arten von Vierecken können dabei entstehen? Ich bin ein achsensymmetrisches Viereck und meine Diagonalen sind gleich lang. Welches Viereck kann ich sein? Von einem Würfel werden die hintere obere Kante und die vordere untere Kante zu einem Viereck verbunden. Was für ein Viereck ist das? Visuelle Präsentation der Aufgabenstellung ohne Graphik In einem kartesischen Koordinatensystem durchlaufen wir nacheinander alle Eckpunkte eines Vierecks ABCD. Wir starten beim Eckpunkt A(0 | 0), gehen von dort zum Eckpunkt B(4 | 0) und anschließend zum Eckpunkt C(4 | 3).a) Wie müssten die Koordinaten des vierten Eckpunkts D lauten, wenn es sich um ein Rechteck handeln soll?b) Der Eckpunkt D liegt tatsächlich bei D(0 | 6). Um was für ein Viereck handelt es sich? Begründe.c) Verändere nun C und D so, dass es sich um ein Parallelogramm handelt, das kein Rechteck ist. Gib mögliche Koordinaten von C und D an. Welche der vier Aussagen ist falsch? Begründe.  (A)  Ein Quadrat ist ein Rechteck.  (B)  Ein Rechteck kann eine Raute sein.  (C)  Eine Raute ist ein Parallelogramm.  (D)  Ein Parallelogramm ist kein Trapez. Präsentation mit Graphik Wie viele Rechtecke sind in der abgebildeten Figur vorhanden? Begründe.     Gegeben ist ein Drachenviereck (vgl. Abbildung). Der Punkt U kann sich längs der Symmetrieachse des Drachenvierecks bewegen, während die anderen Eckpunkte fest bleiben.     a) Kann sich dabei ein Quadrat ergeben?b) Kann sich dabei ein anderes spezielles Viereck ergeben? In den folgenden drei Bildern ist jeweils ein Viereck teilweise verdeckt. Um welche Art von Viereck kann es sich jeweils handeln? Finde jeweils alle möglichen Viereckstypen und begründe deine Antwort.      Aufgabe 3 nach: Roth, Jürgen: Geometrie im Kopf. In: mathematik lehren (2011) NR. 167, S. 44-47, hier S. 45. ___1in Anlehnung an und zum Weiterlesen empfohlen: Roth, Jürgen: Geometrie im Kopf. In: mathematik lehren (2011) NR. 167, S. 44-47.

Bereits in der Grundschule beschreiben die Schülerinnen und Schüler Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Vierecken (auch unter Verwendung der Achsensymmetrie) und bestimmen Rechtecke als besondere Vierecke sowie Quadrate als besondere Rechtecke. Dies soll am Gymnasium aufgegriffen und auf altersgerechtem Niveau ausgebaut werden, indem die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse und Fertigkeiten auf die Vierecke Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez erweitern. An eine systematische Übersicht in Bezug auf die Symmetrie ist an dieser Stelle aufgrund der in der Grundschule nicht behandelten Punktsymmetrie nicht gedacht (vgl. Jgst. 7, „Haus der Vierecke“). Vielmehr bieten sich in diesem Zusammenhang erneut Aufgaben an, für deren Bearbeitung die Grundlegende Kompetenz, eine allgemeine Aussage mithilfe eines Gegenbeispiels widerlegen zu können, erforderlich ist; die Schülerinnen und Schüler erweitern und vertiefen dadurch ihr Repertoire hinsichtlich der Anwendung dieser grundlegenden Beweistechnik (vgl. Erläuterung zu M5 1.1). Auch, dass es zur Begründung, dass eine Aussage wahr ist, nicht genügt, eines oder mehrere Beispiele anzugeben, kann den Schülerinnen und Schülern anhand solcher Aufgaben erneut bewusst gemacht werden. Beispiel:Entscheide jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Gib zu jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel und zu jeder wahren Aussage eine Begründung an. a) Jedes Viereck mit vier rechten Winkeln ist ein Quadrat.b) Jedes Trapez ist achsensymmetrisch.c) Jedes Parallelogramm besitzt mindestens zwei stumpfe Winkel.d) Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.e) Jedes Parallelogramm ist eine Raute.