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Mathematik 5 Abschnitt zur PDF-Sammlung hinzufügen

Gymnasium: Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen

Erläuterung zur Kompetenzerwartung: Die Schülerinnen und Schüler ... „überprüfen Aussagen (z. B.: Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.) auf ihre Richtigkeit hin und verwenden Gegenbeispiele, um Aussagen zu widerlegen.“

  • Aussagen und Gegenbeispiele

    Das Widerlegen einer allgemeinen Aussage mithilfe eines Gegenbeispiels ist eine grundlegende Beweistechnik, die bereits ab der Jgst. 5 immer wieder zum Einsatz kommen kann. Aufgrund ihrer großen Bedeutung sollte sie im weiteren Verlauf der Jgst. sowie in den folgenden Jgst. immer wieder aufgegriffen werden. Der Nachweis des Wahrheitsgehalts einer Aussage ist dagegen von den Schülerinnen und Schülern anfangs nur in wenigen Fällen zu leisten (z. B. Aussage 1). Sukzessive soll den Schülerinnen und Schülern bewusst werden, dass durch Angabe von einem oder mehreren Beispielen nicht begründet werden kann, dass eine allgemeine Aussage wahr ist (z. B. Aussage 3). Die folgenden Beispiele bieten auch Anlass zur Diskussion darüber, dass das Widerlegen einer falschen Aussage nicht immer über ein Gegenbeispiel erfolgen kann (z. B. Aussage 4).

    Beispiel:

    Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Entscheide jeweils und gib zu jeder falschen Aussage eine Begründung an.

    1. Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
    2. Die Vielfachen einer geraden Zahl sind stets gerade.
    3. Die Vielfachen einer ungeraden Zahl sind stets ungerade.
    4. Auf der Zahlengeraden sind die Zahlen 100 und 300 genau 10 cm voneinander entfernt. Also entsprechen 20 Längeneinheiten genau 2 cm.
    5. 17 400 ist die größte natürliche Zahl, die gerundet 17 000 ergibt.
    6. Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets positiv.
    7. Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.

Ergänzende Informationen sind nicht Bestandteil des Lehrplans.